混沌理论在投资中的应用
一，混沌和分形的基本概念
有人说：“20世纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子力学和混沌。他们主张，混沌是本世纪物理学中第三次大革命。就像前两次革命一样，混沌割断了牛顿物理学的基本原则。如同一位物理学家所说：“相对论排除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想。”在这三大革命中，混沌革命适用于我们看得见、摸得到的世界，适用于和人同一尺度的对象。”
O 混沌的特征
1. 非周期；
2. 对初条件敏感；
3. 有界。
其中“对初条件敏感”是最为人们熟知的混沌特征。经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。混沌理论则告诉我们，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，可以对未来状态造成极其巨大的差别。正如中国的一句古话：“失之毫厘，谬以千里”。因此，对一个混沌系统进行长期预测是不可能的。
需要指出的是，“混沌”并不是混乱无序的状态，而是一种更高层次的有序(?)。混沌系统可以产生看上去随机但实际上却并非真正随机的结果。混沌是决定论的，是由确定性的非线性系统产生的，本质上是因果性的。
O 什么是分形？
非线性系统往往具有一种叫做“自相似”的统计特征，也就是说系统在不同尺度上具有相同的统计性质(整体与局部的相似性)。Mandelbrot提出了分形理论来描述这种特征。
对几何图形来说，分形指的是其空间上的自相似性；而分形时间序列则是指时间序列在不同时间尺度上的自相似性。金融时间序列也具有分形的特征，直观的说，股票的日线、周线和月线，看起来是很相似的(用统计方法分析，日收益、周收益和月收益的分布是基本相同的)。
下图是谢尔平斯基三角形，它是用随机的方式执行一个确定性的规则生成的。(从相互等间距三个点中的某一个开始，随机选择向其它两个点中的某一个移动一半的距离；记录下所有到过的点；重复以上过程10000次)。
从上图中我们可以观察到“自相似”的特点。它是确定性和随机性结合的产物，其整体特征体现了高度的有序。
二，分形市场假说(Fractal Market Hypothesis, FMH)
Peters认为有效市场假说(Efficient Market Hypothesis,
EMH)不能很好的描述真实的资本市场，而“分形理论”更符合市场的特征，因此提出“分形市场假说”作为有效市场假说的替代品。FMH重点分析了市场的流动性和投资期限对投资者行为的影响，对市场崩溃等现象能够给出比较合理的解释，关于FMH的详细讨论可以参见Peters的著作《资本市场的混沌与秩序》（侧重于描述性的讨论和分析）和《分形市场分析》（侧重于统计研究方法和经验研究结果）。
O 回顾有效市场假说(EMH)
EMH起源于对金融资产价格行为的研究，目的是找到价格变化的规律，以图从中获利。1965年，法马(Fama)提出这一假说，认为市场是一个“公平博弈”的场所，价格已经充分反映了所有可以得到的信息，因此信息不能被用来在市场上获利。EMH分为三种形式：弱有效，半强有效，强有效。一般认为资本市场是半强有效的，也就是说市场价格反映了所有过去的信息和所有公开的信息，通过分析公开信息来获取超额收益率的努力是徒劳的。
EMH的核心内容包括两个基本结论：
1， 根据可获得的所有公开信息，股价会迅速准确地进行调整——市场是很有效率的；
2， 股价变动的历史资料不包含任何对预测股价未来变动有用的信息——根据股价过去变动的信息不能预测股价的未来变动。
EMH的第一个结论实际上是亚当·斯密“看不见的手”在金融市场的延伸，它基于投资者都是“理性的”这一假定，进一步可以认为市场是处于均衡状态的(在“公平价格”上下波动)。第二个结论实际上是对20世纪三四十年代盛行的技术分析流派的反对，这与20世纪五六十年代大量对股票价格行为随机游走特性的研究有很大关系。萨谬尔森等人提出，股票价格遵循几何布朗运动，也就是说股票价格收益率
(对数收益率) 遵循随机游走 (独立同分布、有限方差的随机过程，序列自相关为0，没有记忆效应，方差随时间线性增长)
，其分布符合正态分布。如果股票价格是一个随机游走过程，那么预测自然是不可能的——这是一个充分条件。
一个常常被用于支持EMH的观点是：积极主动的投资者并不总是能击败“市场”。对于巴菲特等投资大师，EMH的支持者们则将之成功归功与偶然的运气。
诺贝尔奖得主保罗·Ａ·萨缪尔森否认巴菲特有“才能”，说巴菲特们只是掷骰子、掷飞镖者，认为股市投资“只需闭上眼睛胡乱抓”就行。诺贝尔奖得主威廉·Ｆ·夏普也直截了当，说巴菲特只是个“3Σ事件——一个统计学上极小的概率，可以忽略不计。”
经济学家阿芝·Ａ·阿尔奇说，投资大师们的成功“是运气不错，而不是天才。”另一个经济学家巴顿·Ｇ·麦基亚故弄玄虚地说：“虽然我相信存在这种优秀的投资经营者的可能性，但我必须强调，至今为止我们掌握的材料还不能证明这种人的确存在。”
在经济学家的理论中，很难容忍成功的投资大师的存在，就像投资大师理查德·Ｈ·德里豪斯所说：“我们是学术规则的例外，属于统计学偏差范围，我们可以忽略不计，好像我们根本就不存在。这是学术界给我们和巴菲特以及其他少数人的理论定性。因为我们给他们的理论造成了难堪，他们干脆就说我们不存在。”
O 对有效市场假说(EMH)的质疑
1， 经验研究发现了一些与EMH相悖的现象：规模效应，季节效应，小公司一月效应等。
规模效应：指股票收益率与公司大小有关。Banz是第一个发现规模效应的经济学家，他在1981年发现在美国，无论是总收益率还是风险调节后的收益率都与公司大小负相关。在Banz之后，经济学家们对各主要发达国家的市场进行了广泛检验，其中包括比利时、加拿大、日本、西班牙、法国等。除了加拿大和法国外，其它国家均存在规模效应。
季节效应：指股票收益率与时间有关。Rozeff和Kinney在1976年时发现，1904-1974年间纽约股票交易所的股价指数一月份的收益率明显高于其它11个月的收益率。Gultekin等1983年研究了17个国家1959-1979年的股票收益率，其中13个国家一月份的股票收益率高于其它月份。
除元月效应以外，季节效应还包括周末效应、节日效应以及开盘、收盘效应等。季节效应也是在世界各国资本市场普遍存在的现象。有人对上海和深圳股票市场进行了周末效应检验，发现无论是深圳股票市场还是上海股票市场在所选取的样本区间内，股票报酬率最低均出现在每个月的第4个周一，从而证实我国股票市场也存在季节效应。
小公司一月效应：1983年Keim发现公司的规模与元月效应有密切的关系。他将纽约股票交易所的股票按规模分为10组，然后逐月算出规模最小的公司和规模最大的公司的超额收益率之差。一月份规模最小的公司比规模最大的公司的超额收益率高出14%左右。而且较高的收益率又主要集中在十二月底的最后一个交易日和一月的头5个交易日。
另外，关于股票收益率分布的经验研究发现其非正态性质：尖峰，胖尾。因此，Mandelbrot在上世纪60年代提出用Levy分布(又称为稳定Levy分布，稳定帕累托分布)拟合收益率分布(Levy分布是非线性系统一个常见的重要特征)。
2，对“理性投资者”假设的质疑：投机心理，从众心理，狂热和恐慌等等非理性行为在历史上是屡见不鲜的。对这一假设的质疑导致了行为金融学的产生。
3，EMH不能解释市场崩溃等现象：它是一个均衡模型。
O 分形市场假说
投资者对信息的反应机制——线性还是非线性？
EMH要求人们对信息及时准确的做出反应，实际情况则要复杂得多。过度反应和反应不足普遍存在，而且其效应可能长期持续；“羊群效应”等等。资本市场是一个复杂系统而不是一个线性的随机系统：投资者之间的相互影响(投机狂热和恐慌的传播)，政府的干预。
市场稳定的基本条件——“流动性”
Peters认为，流动性是确保市场稳定的关键因素，它是投资者的共同需要。当缺少流动性的时候，投资者会急于接收他们所能接收的任何价格，不管公平与否——这将导致市场的崩溃。EMH假定总有足够的流动性，因此价格总是公平的，Peters认为这与事实相悖。
“流动性”的来源——不同的投资期限
市场中具有不同投资期限的投资者，投资者具有不同的信息集，不同投资者对“公平价格”的不同认识。
Peters指出，投资者不是同质的(Homogeneous)：投资期限不同(长期，短期)；投资策略不同(价值投资，技术分析)；对投资回报的设定不同等等。因此，同一条信息的重要性很大程度上是由投资者的投资期限等因素决定，对不同投资者是不同的。
市场的分形结构：
市场中的投资者们具有不同的投资期限(investment
horizon)，这为市场运行提供了具备流动性和稳定性的环境。例如：5分钟交易者遭受6西格玛事件时(价格下跌超过6倍标准差)，具有较长投资期限的投资者将会跟进，从而稳定了市场。长期投资者之所以愿意这样做，是因为对于他的投资期限而言，5分钟交易者的6西格玛事件是很平常的。
进一步，不同期限的投资者必须享有同样的风险水平，否则这种市场结构不可能稳定存在，这就解释了为何不同投资期限的收益率分布是相同的。
因为以上讨论的市场情形具有“自相似”的统计结构，Peters把这种市场假说命名为分形市场假说(FMH).
FMH对市场崩溃的解释：
市场中分形结构崩溃时，市场变得不稳定。其原因可能是具有较长投资期限的投资者由于某种因素(战争，政治危机等)对未来的预期变得高度不确定，当价格下跌时，他们不愿意进入市场或者他们自己也变成短期投资者，这导致市场缺乏流动性而崩溃。
三，R/S分析等分析方法
Peters认为如果市场具有分形特征，而不是独立同分布的高斯系统，那么就需要引入新的统计方法。他提出R/S分析是一个很适合的方法。这是一个非参数方法，可以区分随机和非随机系统，发现趋势的延续，循环的长度等等。
O R/S分析的发展
R/S(Rescaled range, 重标级差)分析是赫斯特(Hurst,
1900-1978)提出的，他最初的目的是研究水库的存储能力问题，为此他需要考虑水库的水流量随时间的变化，以便制定每年应该放多少数量的水。一般水文学家假定水库的水流量是一个高斯随机过程，这对于处理复杂生态系统来说是一个常用的假设(因为系统有很大的自由度)，但赫斯特从历史数据(丛622-1469年，共847年)中发现，水流量似乎不是随机的——它显示出持续性，并且有循环的特征，但是循环长度是非周期的。因此，Hurst发展了一套新的统计方法，也就是R/S分析。
(R/S分析的公式，略)
O R/S分析的用途之一：把时间序列划分为不同类型
对于任何一个时间序列，用R/S分析法可以计算出其赫斯特指数H(取值范围是), 根据不同H值可以把时间序列划分为三个不同的类型。
H=0.5, 时间序列是一个独立过程(高斯随机游走是其中的一个特例)；
0.5时间序列具有持续性，也就是说具有长期记忆的特征。如果序列在前一个期间是向上的，下一个期间很可能也是向上。
H< 0.5，时间序列具有反持续性。这种时间序列比独立随机序列具有更强的突变性或易变性，频繁出现逆转。也就是说如果系统在前一个时期是向上走的，那么，在下一个时期多半是向下走的；如果前一个时期是向下的，则后一个时期多半会向上走。H的值越接近0系统越具备负相关性。
经验研究发现，经济系统中的大多数时间序列H>0.5, 表明其中具有长期记忆效应，并不遵循随机游走。
O R/S分析的用途之二：价格的有效预测区间的估计
金融时间序列中存在长期记忆，但这种记忆不是无限长的。这就如同自然分形和数学分形之间的关系：数学分形可以任意缩放，从无限小到无限大，然而自然分形受制于其物理特征，到了某一点就不能再缩放下去了。通过对不同市场的经验研究，可以得出这样一个基本结论：资本市场的时间序列具有长而有限的记忆特征，但各个市场不相同，各个品种之间也不相同。
O R/S分析的用途之三：发现“非周期循环”并确定循环长度
R/S方法尤其适于分析非线性系统中的非周期循环，并确定循环长度。
商品价格的波动具有“周期性”的规律，但这并不是真正的周期。真正的周期是一个可以严格用正弦波来描述的，但实际上，价格的波动表现出来的更多是一种具有周期特征的行为，但是没有确定的周期(用频谱分析等方法无法确定其周期长度)，这是混沌系统的基本特征之一，可称之为“非周期循环”。非线性动力学理论指出，非周期循环有一个平均的循环长度，换言之，一个未来的循环长度是不确定的，但它大致应位于平均的循环长度附近。R/S分析可以帮助我们确定非周期循环的平均循环长度。
Peters研究发现，美国股票市场的循环长度大约是4年，债券市场大约是5年，美国工业生产也大约为5年。
O 对分形市场假说的评价：
虽然分形市场假说目前还很不成熟，但是它对资本市场中的某些明显的现象，比如自增强(自我放大)特征、泡沫经济现象等，似乎要比有效市场假说具有更大的潜在解释力。
有效市场假说本质上是一个均衡的情形，而分形市场假说认为市场存在不同的状态(例如分形结构的破坏导致崩溃)，这实际上是一个非均衡的演化模式。
分形市场假说强调了市场流动性和投资者异质性的重要性，因为前者是市场稳定的前提，而后者是前者的保障。如果说在有效市场假说下，监管常常被人有时甚至是被政府本身置于投资行为的对立面的话(妨碍了“无形的手”)，那么在分形市场理论之下，政府要致力于投资主体多元化的发展，致力于信息的公开和知识的完善。
四，使用混沌理论和非线性方法的一些投资公司
Panagora资产管理公司(Panagora Asset Management, Boston)
Peters在该公司任职，1985年成立，管理约150亿美元资产。该公司所用的模型是以线性回归为基础的，但非线性的研究为其提供了重要的帮助：用非线性分析方法评价所用模型的有效性；另外，用线性技术在短期内预测一个非线性系统是有可能的。
预测公司(the Prediction Company, Santa Fe)
该公司是使用非线性技术的投资公司中最有名的几个之一，因为其创始人是非线性和混沌理论领域公认的专家。他们使用的方法包括遗传算法，决策树，神经网罗和其他非线性回归方法。相信“市场收益率有随机的周期，后面跟随的是可预测的小块”。这是一家真正的数量分析投资公司，“交易完全是由模型管理的，没有认为干预”
TLB合伙公司(TLB Partners, New York)
这家公司使用神经网络，遗传算法和赫斯特指数等分析方法。改公司的领导者梅(C. May)是一个非线性科学的专家，他的投资期限大概是6－9个月。
LBS资本管理公司(LBS Capital Management, FLA)
该公司使用神经网络和遗传算法等非线性方法，管理着6亿美元。这是一家半数量分析公司，也就是说公司并不完全依赖模型，有时候会根据人为判断推翻模型的决策。
分形理论和波动理论研究（一）
宋太伟 著
前言
在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一 --- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N.埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。
一、分形理论与自然界的随机系统
大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。 欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。 通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。 70年代曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。
所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。 所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木； 不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。
下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。 由科赫曲线明显可以看出, 不管尺寸如何变化, n=1 时的基本三分图保持形不变！ 这就是自相似性,价格曲线的波动明显包括这种循环叠加、“自我生成”的（信息传递的）演变规律。科赫曲线是描述海岸线很好的近似，同样由科赫曲线人们会想起价格波动曲线。科赫曲线的分形维1.2628。维度是 1·2628的“空间”，简单从距离意义上讲，在其空间中取任意点，与这个固定点有相同“距离”的空间点数（集）比一维空间多（一维即是一条直线，有2个点）而比二维空间少（二维空间是个平面，距离相同点有无穷多并组成一个圆轨迹），甚至最短距离也可能不是“直线”；从“密度”的意义上来讲，1.2628维度空间内的“密度量”正比于该空间中空间尺度单位的1.2628幂次方。
科赫曲线虽说是个简化的数学模型, 但其形象地显示不管从什么样大小的尺度来考虑,科特曲线总是包含 n=1 时的特征, 曲线的任何一个部分都是整体形状的“缩影”,这是分形的自相似性。科赫曲线直观地反映了分形的演变内涵，它揭示了客观事物自然演变的一种普遍法则。 象人类自身的细胞生长, 细菌的繁殖, 植物的生长, 地貌的变化, 海岸线的变迁，天气的变化等等, 无不带有这种以某些特征为传递信息的无穷尽的衍变过程，通过仔细深入研究人们有可能发现这些复杂自然现象的分形特征，分形是普遍存在的。
分形理论表明，大自然中客观存在的分形现象的分形维大多在1.6—1.7附近，少数在0.6—0.7或2.6附近，这让人想起黄金分割率0.618或1.618。理论上讲逻辑“空间”的分数维度可以有无穷多个取值，但有意义的肯定是那些特殊数字（我在1983年完成的论文《费尔马大定理研究》中对此逻辑原则作过详尽阐明。）；因此有理由认为客观事物的分形维基本上应具1.618或0.618或2.618的特征！也就是说自然界众多庞杂的无规现象具有一定的共同逻辑特征。通过简单的数学运算可以证明：任意一个由前两项的和生成随后一项的无穷级数S={a（n）｜ 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之比a（n+1）/a（n）趋向于1.618的极限；任意一个由前两项的积生成随后一项的无穷级数Q={a（n）｜ 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之关系趋向于a（n+1）=a（n）^1.618或a（n）=a（n+1）^0.618的极限。这种关系的意义我将在有关黄金分割率的一节中详细论述，可以说这种关系一定意义上揭示了自然界随机系统分形特性的逻辑基础。自然界中“无规”变化的事物（或系统）的主要特征是时间上的不可逆性, 这也是自相似性的“基本传递信息”，数学中表现为“时间反演不对称”。
二、价格波动运动的基础与基本特性描述
大集合体具有某些特征的随机运动是自然界存在的普遍现象之一。 用数学方法描述即是一个由无穷多个具有某些共同属性的元素组成的系统, 系统内每个元素的某种运动具有不确定性, 描述系统整体的某些变量也具有随机性, 系统的这些随机变量的时间坐标曲线则是一些无规的波动曲线。 现实生活中属这类性质的曲线很多, 例如气象图、噪声图及有关大气污染、动植物生长状况、人类健康状况、产品质量控制、宏观经济统计数据研究等等方面的某些变量曲线都属于此类。
系统的随机性并不是说系统的随机变量是不可量度的, 而是说变量的不可精确预测性； 换句话说, 我们只能知道变量的历史及当前已经发生的数值, 将要发生的数值是不能精确确定的。 这就确定了变量曲线的随机波动基础。一般情况下, 大集合体(或大系统)的运动过程是渐进的或者说是连续的过程, 不是跳跃式的或突变式的；更严格地讲, 大系统从一个均衡状态演变到另一个均衡状态是经历了无穷多个“时间单位状态”的运动, 系统每个单位时间状态对应一个随机变量数值；无穷多个随机变量数值对应有限个“宏观均衡状态”必然产生宏观变量的随机性, 同时随机理论证明变量的随机变动是围绕某一平均值附近进行的, 这就决定了系统宏观变量曲线的波动性及连续性（当然不是平滑性和均匀性）。 曲线(或图表)连续性是技术分析的基本假设之一。
一般国家或地区（或全球性）的证券市场因其公开(信息化)、公平(自由竞争)、快捷严格（无实物交易并迅速结算）的交易制度及有无数交易者参与, 构成典型的价格指标随机波动系统。价格波动的直接因素是未来时间内参与交易者的数量及建立头寸的位置、方向、数量都是不可精确测度的, 间接因素或过程因素则是由于影响买卖交易的信息传播、资金供应、不同交易者的心理状态变化等等方面总体方面是不可测的。 价格的随机波动是绝对的，时间越短交易量越大价格波动的随机性就越强。价格随机波动的一个重要推论是一般情况下(参与交易者少及停板状态除外),同一位置买和卖都是有赚钱机会的！ 真正赚钱与否关键要看交易者的心态与交易操作是否迅速果断；市场交易量越大，价格波动就越频繁，短线的机会就越多。
一个流动性较强的交易过程（集合），价格的随机波动总是包含某种平均趋势。这也是传统技术派推崇的道氏趋势理论的基础。 价格指标曲线的趋势性是国民经济发展的周期运动所决定的。 曲线的趋势性是指在一定时期内价格或指数随机波动运动中总体上包含向一个方向(向上、向下、横向等)运动的趋势。 在正常的市场经济条件下经济运动的周期性大致可以解释成: 一个国家或地区的经济因为某些环境、政策等因素的驱动, 使得某些重要行业或整个社会原有的供求平衡关系发生了变化, 假如需求开始不断增长, 由此引发生产的增长, 由于整个社会经济单元互相关连, 社会需求与社会供给互相推动共同增长(良性循环), 整个经济呈现繁荣景象； 随着经济的不断发展, 各种新的矛盾不断出现, 如果随着时间的推移这些新的矛盾能在内外因素的影响下合理钝化, 那么整个经济将在更高层次的均衡状态下运行, 否则矛盾的激化最终必将破坏良性发展的供求关系, 由相互促进转变为相互抑制, 最终导致经济的(相对)衰退。由于各类经济活动与相关政策的运作在时间和空间上都有“很难量化的距离”, 经济整体运动的“惯性”很大, 所以一般经济运行的周期是比较长的。反映经济运行状态及商品供求关系的价格指数曲线自然也会表现出同样的整体运行趋势, 只是由于交易的信息化和资金化, 经济发展的趋势又首先从信息及资金的供应状况表现出来, 所以指数曲线的走势总是超前于经济运行的实际状态。
周期性是自然界发展变化的基本规律之一， 经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复； 总体上讲人类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。与经济发展密切相关的证券价格指数的走势变化也是如此，传统技术派基本假设之一 “历史是会重演的”是不确切的。
用分形理论来分析, 价格的随机波动曲线具有“自相似性”。价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线一样表现为精确的几何图形，随机性是这种曲线走势的基本特征；曲线自相似性的意义是突出随机过程中的关联效应, 抽象地谈分形对分析价格曲线的未来走势是无意义，我将在后面专门阐明价格走势的分形问题。传统技术派的经验论断是值得怀疑的，R.N.ELLIOT的8波理论只是众多抽象化分形中的一个形态，由此发展起来的所谓‘波浪理论’的实际应用价值不大；对同一种价格波动曲线不同的‘波浪理论’使用者往往得出不同的甚至是相反的结论即很好的说明了这一点。
传统图表分析派认为, 市场的价格(指数)走势波动曲线, 包融了一切影响价格变动的因素。 在逐利竞争交易的市场中, 价格的升降成为交易者追求的直接目的, 加上交易手段及信息传播的现代化, 市场的投机性增强, 往往许多价格曲线的短期波动走势与基本的“供求关系”不一致； 换句话说, 供求关系的决定作用可能在某些特殊的交易过程中没有意义, 市场价格走势并不总是“合理”。另一方面，市场的价格变动反过来又影响市场本来要反映的因素。图表走势包融的一切因素, 应该融在整个过程中。既然交易者对市场所包融的一切没有确定的认识，或者说对市场中所发生的和将要发生的一切都存在上认识的不确定性, 这种假设是无短线意义的。
三、黄金分割率与分形的关系及其在客观现实世界中的存在机理
黄金分割率 0.618 是一个比率数, 其几何意义是一个线段按黄金率分割成的两条线段之比是两条线段中较长的一条与原线段之比, 都是 0.618。
假设线段长度为 1 个单位, 分成 A 和 B 两段, 则 A + B = 1
令 A = 0.382 ,B = 0.618 , 则 A/B = B/1 , B*B = A , B/A = 1/B
简单的运算可知: 0.618*0.618=0.382, 0.618*1.618=1, 0.618/0.382=1.618
1/.382=1.618/0.618=2.618, 1.618*1.618=2.618. 黄金率主要是指0.618或其倒数1.618, 0.382或其倒数2.618则次之, 其它数字如0.191, 0.236等都不是“黄金率”。
同样，我认为维度D=0.618空间是对D=1的一维空间的‘黄金分割’，D^0.618*D^0.382=D^1，维度D=1.618空间是D=0.618空间与D=1空间的（垂直）叠加；维度D=2.618空间是D=1.618空间与D=1空间的（垂直）叠加。可以认为，维度D=1.618空间是二维空间的一个特殊子空间，该子空间在二维空间中的“表现”就是一个完整的分形！分形维是决定分形的内在机理。理论研究表明，D=0.618分形维是最重要的，（当然也是1.618与2.618分形维的逻辑基础）。从空间的概念来讲，维度D=0.618的逻辑空间是由无穷多的、不连续的、分布不均匀的（“点的密度”与一维空间的测量尺度呈0.618的指数关系）“点域”组成的“实数空间”，所谓“点域”可简单理解为一个数及其最临近数组成的数集。分数维“空间”这种离散性（不连续性）与不均匀性决定了 1〈D〈2 分形维在二维空间的分形图案。现实世界中最有意义的分形维其D都在1.618（或0.618或2.618）附近，其分形图案最具代表性的：一是呈一定中心对称性的向外发散型如闪电、粒子的扩散置限聚集（模型）、细菌的繁衍生长模型、树枝等，如附图二附图三附图四所示；二是平面展开型如海岸线、白云的平面轮廓等。不平滑性、不相交性、一定程度上形状的相似性是这些图示分形（图案）的共同特点。
第一节已经讲过，任何一个由前两项之乘积生成随后一项的无穷级数数列Q={a(n)｜, 其中n=1,2,3,…,∞}，其相临两项的关系趋近1.618（或0.618）的极限指数关系，即a(n+1)=a(n)^1.618 或 a(n)=a(n+1)^0.618；而相临两项的对数比趋于极限关系loga(n+1)/loga(n)=1.618，同时loga(n+2)=loga(n+1)+loga(n)，即Q级数又对应一个由相临两项之和生成随后一项的无穷级数 S 。另外，假设级数Q的第一与第二项分别为a(1)和a(2)，则Q级数的第n项a(n)是多个a(1)和多个a(2)的乘积，具体为a(n)=a(1)^f（n-2）* a(2)^f（n-1），其中f(n-1)和f(n-2)分别为FIBONACII级数的第(n-1)项与第(n-2)项（见下面）；假如a(1)=a(2)=a , 则 a(n)=a^f(n) 。妙就妙在乘积逻辑上，如果我们将a(1)或a(2)甚至更多的项作为具有某种特殊意义的“传递因子”，其众多的乘积结果不就是包含层层“传递因子”的分形吗？！在这里自相似性也就是“传递因子”的某种特征的“层层表现”。可以非常简单地设想D=0.618空间是由无穷多个Q类级数所构成的，由于该空间的“点”不连续（指离散），所以距离（或线或面）的概念无意义（因此该空间“点”在二维空间的“连线”呈现曲折波浪是必然的）。进一步研究表明，D=0.618空间的“点”具有“不独立性”与“不可重复性”，可理解为临近关联性和排他性。任意一个分形维空间的相关“点集”，对应（或代表）一个特定的信息向量（可以理解为一个信息集）。
客观事物的运动变化并不总是均匀的、可重复的，不均衡变化、不可逆性、具有相关性（或者说记忆性）是自然界普遍存在的现象，任何繁杂的看似无规的自然（或社会）现象，都存在一定的内在联系，而且越是“相接近”关联性就越强；同时每个具体的事物都具有区别于其他同类事物的个性特点（排他性）。这说明自然界的“随机性”并不是无任何规律的。分形维的逻辑基础正是建立在这些自然法则之上，因此可以说分形维空间的逻辑规则与推论，一定程度上揭示了自然界众多无规现象的内在规律。进一步研究表明，任何繁杂的自然系统（现象），最普遍的（或者说普遍存在的）相关性是“量”的叠加（和逻辑）与“质”（信息量）的非线性扩张（乘数或指数关系）----这正是自相似性的本质。这也是黄金分割率在现实世界中普遍存在的逻辑基础，因为体现自然界这种“和逻辑关系”的任意无穷级数S的相临两项之比趋于黄金分割率极限，而体现自然界这种“积逻辑关系”的任意无穷级数Q的相临两项的对数之比同样趋于黄金分割率极限。 这种普遍规律表明: 大集合中的元素如果具有无穷尽的叠加衍生(运动)关系, 整体上必然表现某种与黄金率0.618（或1.618）有关系的特征。发现黄金分割率在波动曲线中的存在是ELLIOT最有价值的贡献。
一定程度上具有零和比赛规则的证券及外汇市场中的交易活动是典型的大集合意义上的叠加运动, 交易本身是一个和逻辑游戏, 具有结合律与分配律规则。市场上的交易活动与以前的甚至是很长一段时间内的交易活动都有叠加逻辑关系, 因此价量走势图表中表现出与黄金率有一定关系是自然的。 可以想象, 充分体现黄金率的图表时间区间应是一个相对完整的交易周期, 这是正确使用黄金率的前提, 反过来又是确定一个完整交易周期的方法。
ELLIOT波浪理论将黄金分割率在 FIBONACII 级数中的特殊表现主观地作为了其在价格走势研究中的应用基础。FIBONACII级数是一个由 1 这个自然数生成的无穷自然数级数: 1，1,2,3,5,8,13,21,34，55，...； 其中每一项是其前面相邻两项的和, 该级数有一个非常有趣的关系是其每相邻两个项的比值 [表示为 a(n)/a(n+1)] 随着项的增大趋向于 0.618 黄金率极限, 级数相隔两项之比[表示为a(n)/a(n+2)]趋于0.382。前面讲过这种关系并不是 FIBONACII 级数所独有, 任何一个由前两项之和生成随后一项的无穷级 S={a(n),n为自然数} 都具有这种性质, FIBONACII级数仅是这种级数的一个特例, 用其项数字 ---3,5,8,13,21,34,55,89,144等去数价格曲线的‘波浪数’显然是幼稚的。
分形理论和波动理论研究（二）
宋太伟 著
四、价格波动曲线的基本分形形态及价量关系
商品的价格曲线或价格指数曲线是价格或指数随时间变化的坐标曲线。时间是连续发展的，而价格或价格指数是D=0.618分形维空间的“变量”（或者说价格或价格指数的变化符合D=0.618分形维空间性质），因此可以认为价格时间曲线具有1.618分形维，价格曲线的波动性是必然的，同时曲线具有自相似性。波动幅度（指相临波动浪）相比的1.618（0.618）关系是这种自相似性的基本特征之一。分形维的特点已经决定价格的波动曲线永远不可能重复前者，只是一定程度上的形似。中心对称空间（极坐标）的分形基本单元为“三树枝”结构，平面直角坐标系下的时间价格曲线的基本分形单元为“类N字”结构，分别见下图所示。图中所示的线段a、b、c的“长度或幅度”具有黄金分割率关系，类N字结构中的点1、2、3、4 是D=0.618分形维空间的相关点。
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根据分形单元的“类N字”结构，正常的证券外汇期货交易市场的价格或指数的波动曲线的基本波动形态（分形单元）， 包括两种基本结构共十种形态，如下图所示, 其中a、b、c含有一定的黄金分割率关系。
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分形图（二）中的分形单元的a、b、c波线都可以单独分裂出更小层次的类N字型单元，例如正类N字型单元（1）常见以下几种分裂图形，见图形（三）。
周期是一个相对的概念，其本身也具有自相似性。广义上讲，一个运动变化的系统，其某一描述系统全貌的量（信息量）从小到大再从大到小的变化过程，就是一个相对完整的周期。对价格曲线来讲， 曲线的价格与成交易量（或者说价量关系）由小逐渐增大到某一最大值以后又逐渐减少到某一最小值即为一个完整的周期。当然这个周期可能是包括一个更大的最大值的另一个更大周期的一个组成部分；从另一方面讲该周期可能又包含较为小的价量变化周期。价格和指数在大小周期更替演变过程中走出跌宕不定的行情。从周期的概念与基本分形单元的构造来看，一般只有正类N字型单元与反类N字型单元共同组成的图形结构才可能是一个相对完整的周期。这也符合自然界阴阳互补的法则。
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格随机波动曲线都是由分形图（二）的十种单元以某种层次变化关系组合而成。价格曲线最常见的波动型是由图（二）中类N字型单元（1）（2）（6）（7）组成的以下四种组合形态(图四所示)。这四种波动形态都是由两个对应的类N字型单元组成, 这四种组合波形一般在反转或转势时期发生，黄金分割率关系在这四种形态中往往表现得比较充分。价格指数波动变化的这种形态规律, 是由大集合体随机运动过程中因为具有叠加衍生逻辑所包含的黄金率关系的特征所决定的。各种分形形态按不同的周期层次“连接”，组成价格波动曲线。
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另外，ELLIOT的八波形态也比较多见，如图形（五）所示，其可以看作图形（四）的一个升（或降）波线分裂成一个类N字型单元而形成。
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由前面所讲的分形理论可知，ELLIOT 的八波形态只是价格曲线繁杂无穷尽的分形图中的一种简单化形态, ELLIOT 波浪理论的最主要部分是以八波假设为前提的， 所以其相关推论及许多技术分析师在其理论基础上的所谓深度发展都是无意义的。
在本节最后，谈谈如何判断“最近未来”的走势问题。参考图（六）所示，仅仅从判断图（1）很难判断a线为什么到2点停止，b线为什么停在3点，因为与1点有D=1.618分形关系的不只是2和3两个点。需要从大与小多个视角来考虑，比如借助判断图（2）来考虑abc与ABC的关系，以及考虑abc各自本身在小时空尺度内（或小周期内）的具体走势形态。以判断图（2）的2点为例，a和C有黄金率关系，2点又与m点对应（受m点“支撑”），a线在2点转折的可能很大，如果a线的小时间单位尺度内的走势表明在2点的买盘相对于抛盘来讲非常积极，那么2点肯定是a线的停止点。同理，3点的出现使abc和ABC有可能组成较完美的类N字型周期分形结构，因此这种走势出现的机会较多。分析其它具体走势可以依此类推。
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以上分析表明， 价格曲线的分形形态，是对其具体对应的价量关系的一种逻辑描述，价量关系是曲线分形的“质”，价量关系的宏观（长时间）与微观（短时间）的准确判断无疑是正确确定价格曲线走势形态的基础手段。
价格与成交量的基本关系可以表述为:
1、盘势过程中, 价格变化和成交量都不大，波动曲线较密集；盘势中成交量不断增大, 波动曲线密集区开始放大，预示价格有上涨的可能。
2、升势中成交量不断放大而且可能进一步放大, 预示价格将继续上扬或再创新高，图形波幅将不断放大；升势中成交量变小预示当前升势将结束或停止（非均衡状态除外，如明显的消息刺激或大户操纵等）。
3、跌势中成交量变小或无变化, 预示跌势将继续； 反之, 跌势可能将结束或停止；高位盘整中成交量放小而价位逐渐下调, 预示资金支持可能不足,熊势可能将开始。从分形角度来讲，价量关系小意味着图形的向下趋势。
五、用波动理论分析价格或指数波动曲线走势的要点及实例分析
图表技术分析的所有方法都是从价量变化演变而来, 直接研究波动曲线本身及成交量的变化显然比用其它间接的方法去分析走势更为直观可信, 波动理论的重要性可见一斑. 使用波动理论分析价格曲线走势的要点如下:
1、以图表及成交量为基础, 结合包括政治经济政策、资金供应状况等影响供求关系及交易动机的基本面变化进行分析, 随时调整波动形态的预期结果.尤其是行情处于转势的状态中, 这点是最重要的. 随机运动过程变动才是绝对正确的。
2、市场当前状态的属性分析。这是指考察市场是否处在正常的公开公平的交易状态中, 如果有人为因素或大户操纵, 市场的随机性就差，买卖交易公平性不复存在。一个买卖力量均衡的交易品种，价格走升与走跌的可能均为50% ，市场的不确定性为100% ；假如当期出现一个大户在同一方向上的交易量占到总交易量的20% , 那么对这个大户与知情者来讲，市场的不确定性只有80% ，即有50%*80% + 20% = 60% 的可能是价格向有利于大户的方向发展，（此逻辑的重要推论是一个均衡的市场占总交易量的10%同方向交易即可操纵市场），此时市场走势的确定性就很强, 单纯的随机分析欠妥。
3、市场当前的时空状态分析。结合分形构造,分析把握当前的曲线区间是分别属于哪种短、中、长线周期运动状态中， 并确定分析的重点周期。对交易者来讲,不仅要有一个正确的交易方向, 而且要有合适的交易时机及目标。
4、正确使用黄金率。 配合价量关系，并利用黄金率分析当前走势处在何种周期状态的何种区间位置。较为复杂的波动形态, 如果没有明显的黄金率比例, 价量又没有明显变化, 可能预示原有的走势方向没有变化。
5、对波动理论的具体使用者而言，要正确领会运用波动理论，需要对所处市场有一定深
度的“理解”和足够的具体实践经验与感受；同时优秀的个人修养与品质也同样重要。这并非无稽之谈，事实上波动理论包含了某些深刻的同时也是普遍的自然法则，从某种意义上讲，不只是自然界，象人类社会、国家、人生、甚至包括人的思维演变都具有一定的分形与波动的内涵！对普遍逻辑的理解，需要从狭义与广义的角度进行辨证认识，这是一种境界，达到这种境界，事物是相通的，“事情”就变得简单起来。
以上内容的大部分论述及分析并没有具体化, 其应用的范围明显是比较广的。
分形理论和波动理论研究（三）
宋太伟 著
实例分析
英镑对美元汇率
当今国际金融市场风云突变，危机四起。从87年10月下旬发生全球股市暴跌以来，先后发生日本股市危机（90年），东欧汇率危机，以英镑与意大利里拉为代表的西欧汇率危机，墨西哥及南美金融危机，及最近的东南亚金融危机及全球股市暴跌等。本节借助分析英镑历史走势之便，同时简单谈谈我对当前国际金融危机的认识。
由于没有国际外汇市场和国际证券市场的最新数据，下面只能用英镑的历史数据来说明分形理论在外汇市场中的应用。89年至93年英镑汇率走势很有特点，现在因东南亚金融危机倍受人们注意的金融投资家乔治.索罗斯就是在92年秋季前后英镑汇率危机中大量卖出英镑，获得巨额利润并名扬天下的。按图（七）来分析英镑92年前后的走势分形特点。
图（七）所示的英镑单位，第一位为整数位，其它位为小数位，省略了小数点。从图可以看出，89至93年英镑汇率投机性极强，此时间区间内，2.0000是英镑的绝对高位；90年夏季英镑的飚升得益于美元对日币与马克的走软；92年夏季发生英镑汇率危机之前，欧共体成员国正在在统一货币问题上讨价还价，争论不休。英国人与德、法等之间的分歧是导致危机的基本因素。根据索罗斯的自述，当时德国官员曾经明确暗示过英镑对马克明显高估。英镑
看出，89至93年英镑汇率投机性极强，此时间区间内，2.0000是英镑的绝对高位；90年夏季英镑的飚升得益于美元对日币与马克的走软；92年夏季发生英镑汇率危机之前，欧共体成员国正在在统一货币问题上讨价还价，争论不休。英国人与德、法等之间的分歧是导致危机的基本因素。根据索罗斯的自述，当时德国官员曾经明确暗示过英镑对马克明显高估。英镑从2.0000附近向下下滑是必然的，消息刺激只是加大了英镑贬值的力度。索罗斯对套利工具在极限（或者称猖狂）市场情况下除了推波助澜以外与其它衍生金融工具一样对防范金融风险无能为力这一点认识得非常深刻，因此他在这场风波中下了大赌注。
图（七）中E-G-g-k-m是非常漂亮的层层头肩顶结构。其中i点应是gj线可能调整的第一点，但其直穿c点到h点，显示跌势之强大，h点是（获利回吐的）分形调整点，在此抄底者必是损失惨重；gj线是一个最强势的类N字分形单元，具有较强的排他性，所以英镑在gm线以后较长时期之内不能回升到1.7000以上。图中P-A之间的结构较为特殊，NP与PA应是一个类N字结构的两部分，如果将A-g之间的曲线反转投影在A-g之上，则从N到m将是一个更大区间的漂亮的头肩顶结构，N-P-B-C组成一个完美的复合类N字结构。由于2.0000以上英镑没有支持基础，PA又调整到位，A-B线选择向下是必然的。图中A与g两点的位置有惊人的相似之处，只是cfg又组成完整的转势时的类N字结构，g点转势之速从图形上理解就是正常的了。
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乔治.索罗斯出生在匈牙利，青年时代就学于伦敦，主攻哲学。60年代移居美国，开始从事金融领域的投机生涯（西方人投机与投资不分）。以匈牙利人特有的精于算度与天真执着的个人品质，经过20多年的努力经营，到八十年代，索罗斯在证券期货外汇市场已经为自己赚取了上亿美元财富。索罗斯在多年的投资生涯中形成了一套自己的投资理论，92年末在他名扬四海以后开始向外宣传自己的理论，可几乎没有人相信或弄懂其理论，有人说他是一派胡言。毕竟索罗斯是至今为止，利用自己独创的理论在风云多变的金融投机市场中取得巨大财富的第一人。索罗斯的确是一个特殊人物，他要靠“投机”赚大钱来“行大善”，据说近几年他每年用于慈善的款项达2—3亿美金。现在很多人将今年东南亚的（乃至近期全球性的）金融危机归罪于包括索罗斯在内的国际金融投资商的恶意炒作行为，这只能说只是看到了表面现象。
象92年英镑的汇率危机一样，东南亚金融危机（主要是汇率危机）乃至最近全球的证券市场暴跌现象，都有其深层的客观因素，汇率大幅贬值只是这种深层的经济与社会矛盾的现实表现；如果没有（或不发生）汇率问题，这种矛盾的激化也必将会以其它的形式爆发或溢泻出来。东南亚尤其是马来西亚、印度尼西亚、泰国等近三十年来的经济（高速）发展主要是以投资扩张为手段的。大量膨胀性投资，一方面促进了经济的繁荣，另一方面也引起货币资源的无效益性膨胀，这是导致汇率贬值的根本原因。货币资源的过度膨胀主要表现在产业发展不均衡，结构矛盾日益突出，资源浪费严重，国际竞争力差，通货膨胀问题较严重，贫富差距扩大加速，（属于资本投资与投机密集型产业的）房地产投资过度（主要是高档次商品）及无真正经济效用的外汇流入比例过大过速等泡沫现象。从长远发展的角度来讲，这些国家现在发生金融经济危机也是有益处的。
另外，外汇市场是一个国际性的流动性强的大市场，汇率的波动象大海的浪潮一样变化莫测但又属正常现象。供需关系决定一个国家或地区不可能永远处于外币净流入状态中，外汇资源也要进行由市场价值决定的更为有效利用的资源流动分配，因此当一个国家的经济（或其它社会问题）出现日益严重的危机（或矛盾）时，外汇的外流（“财富外流”）是必然的。（其实，对绝大多数国家来讲，外国人持有的可以用于投机的本币是极其有限的，如果本国公民或企业对国家经济前途充满信心，不加入抛售本币或者更准确地说是抢购外币（当然主要是美金）的“狂潮”之中，本币汇率出现大幅贬值的可能是很小的。）。自由汇率制度不仅需要一个国家的实力与自由制度的支持，而且需要本国公民的拥护与支持，同时需要国际社会的认同、尊重与支持；汇率是一个“国际大家庭”的分配问题，自由汇率制度实现了一个国家直接向其他国家按自身意愿索取的目的（理论上讲，对一个国家来说外汇自由兑换已经不存在外汇短缺或进口物资短缺的问题了。）；但这是有限度的，一个国家如果不能在国际大分工中担当起别的国家不可替代的责任（或角色），本币的贬值不可避免，同时可能最终会被这个“国际大家庭”驱逐门外。东南亚的经济与社会政策的失利是导致这次金融危机的根本原因，要知道，成功的投机者只是一个随波逐流的高手而亦，他们永远不可能是市场的对手。所有这些都值得我国借鉴，在没有真正弄懂自由汇兑制度到底意味着什么之前，最好别“赶”他人的前辙。可以毫不夸张地说，在自由汇率制上急于向发达国家看齐的发展中国家，无一或将无一幸免于本币的大幅贬值。或许，乔治.索罗斯一定程度上理解了这一规律。
混沌理论要点：
1. 非线性系统的非因果性
当原因与结果间的关系并不确定时，便产生非线性现象。比如说利率提高1％（原因），市场反应（结果）就是不确定的——结果取决于人群对该消息的解释。
再如美国家森林公园，每年都由雷电引起数百起火灾（起因相同），仿佛老天爷每年都要向大地投放火星大小相同的成百上千个未熄的烟头，于是几百次火灾被引发，并蔓延、终止，有时烧毁数亩、有时蔓延数百亩，有时……1988年那次，使黄石公园全部150万亩森林片草无存（该公园去年已被世界自然遗产目录剔除）。以致其它森林公园为防止枯草积得太厚，还不得不让消防人员，每年人为制造些火灾。
量子世界、人类历史、地震、天气运行……莫不如此。远至恐龙时代的大小生态灭绝事件，近至非典、上月的北美大停电、各国证券市场，每年无数个烟头被仍向场内，引发或大或小的震动，并蔓延、终止……但到底哪个烟头，才是那颗重要的烟头？
相同的初始力，令人瞠目的结果，是所有混沌系统的基本特征。大家都不难理解，曾救了萨达姆命的藏身之所，这次偏就成了送命之处，但很多人却很难理解同样一个历史点位，并不代表同样的未来。许多历史学家在逐次的趋势和循环中，搜寻说得过去的理由与解释，显然是用错了工具。这些传统观念产生于匀衡物理和天文学中，而合适的工具，却在非线性的非匀衡物理中。新物理学家们则开始用模拟游戏代替方程式，去发现事态运行的规律。
2.对初始条件的极端敏感依赖性
伦敦气象局计算机系统每日处理覆盖全欧洲的数千个气象站的上亿条数据，一次洛伦兹将5.06127输入为5.06，万分之一的省略，提供了两份截然不同的天气预报。于是洛伦兹在美国科学促进会提出：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀可能会在美国德克萨斯引起一场龙卷风”，从此，令人着迷、发人深省的“蝴蝶效应”，就以其大胆的想象力与迷人美学色彩，更加之深刻科学内涵与内在哲学魅力，倾倒了不断在复杂系统中苦苦求索的芸芸众生。“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个基本特征：对初始条件的极端敏感依赖性。
经典动力学认为，初始条件的微小变化，对未来状态所造成的差别也微小。但混沌理论认为，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
大家不妨想像一下台球桌面：撞击母球不到1度的微小偏差，会使台面出现纵线与横折两种极端迥异的走势。一个储蓄组合的未来资产变化模拟图，也仅因规则改为不计零数，模型便立即报废。导致蝗灾的因素有不下两百种，漏算或误算其中2％，不久20％的因素都会相应改换，一切也就大相径庭。西方流传的一首民谣更是对此作了形象的说明：“醉了一个农夫，丢了一颗铁钉；丢了一颗铁钉，少安一付马掌；少了一付马掌，跛了一匹战马；跛了一匹战马，摔坏一位将军；死了一个将军，输了一场战争；输了一场战争，亡了一个国家！”
系统对无数变化，何时极度敏感，何时能消化掉而不予理会，对此人类不是无能为力，而是丝毫都无能为力——地球上每天亿万只蝴蝶上下翻飞、百万只苍鹰鼓翼、千百只大鹏展翅……初始力或相同、或不同，初始因素本身虽不大，但经时间积累后的结果，已远非人们当初之想当然。
从前我们经常听到“明年将现暖冬”“下月平均气温将低于去年同期”等说法，但拥有超乎想像的完备数据的美国家气象局去年已宣布：“从此再不对超过10天的气象做任何预测。”这是人类科学认识的又一步飞跃。
3. 能量法则
完全不同于线性代数的产物——概率论。该法则是不同国度的学者们，耗时巨大的独立研究后，最终共同发现的一项新的重要自然法则，已被证实是一个适用于上千种的模板的、普遍存在于万事万物的法则。举例简述：
◎ 人类在不同的地区依不同的人口理论建造了数以万计的城市，但人口每减半，城市数必多16倍（柏林学院数据）
◎ 地震震级每减1，发生机率增4倍；而两次地震相隔时间每增1倍，不发生机率增2.7倍；
◎ 人类历史上每当战争规模扩大1倍，发生机率降为1/2.62；战争死亡人数每增倍，发生次数降为1/4（英国物理学家莱斯利）
◎ 所有物种的灭绝规模每大1倍，发生机率则降为1/4；黄石公园火灾吞噬面积每大1倍，不发生概率增2.48倍；两块磁石距离每扩大1倍，指向同一方向的可能性减少1.19个因数；科学家们的论文被引用次数每增1倍，数量就降为1/8；以任何方式击碎石头，检点碎片发现：碎石重量每减半，数目就多6倍；财富每增一倍，人数就降为1/4……那么大家关心的股市呢？美股标准普尔指数13年450万根15分钟K线显示：振幅每减半，出现次数多16倍……
这些数字的意义仍然在于强烈提示人类：世界是按内在规律运行的，造物主只要求市场严格的符合一个简单数，其它的秘密，人们再也无从知晓。神秘的大自然面前，人类正如一个围棋新手，仅知游戏规则是分黑白两色，其它更多的，尚未入门。但至少已比那些自以为在玩一种五颜六色的搏弈游戏者，进了一大步。理解了混沌法则，才会知道在5分钟线和年线中起作用的那个相同缘因。正确的法则，适用所有形态，所有事件。
4.分形
分形是指维数为非整数的图形，如直线和立体分别具有的1和3的整数维，但标准普尔的维数却是1.24（数据自斯坦福大学金融教材）。分形被称为本世纪数学领域最有用的发现，它使科学家得以轻易描述如云朵、湍流等自然形状，还复杂以单纯。也迫使金融研究者对搏弈理论、风险度量、时间序列等理论，做出全面修正。
心律不齐者的心电图，是很规律的，许多线性分析方法，可以计数描述、甚至预测它的未来。但这些传统方法在一个健康人——一颗蓬勃自然跳动着的心脏面前，却顿显苍白。人脑亦然，只有癫痫病人的大脑波，才有规律。事实上，人类的意识程序，在结构上必须是混沌的分形形式，才可能运作。
证券市场也同样是自然的函数，其行为并不遵循古典物理、参数统计学或线性数学。欧几里德几何的研究对象，越放大就越简单，三维的块，最终变成二维的线，但自然物体越近的观察，却越显示出越多的细节，局部的随机和全局的有序构成其全貌。
我们见过很多分析预测研究报告都有这样的结尾：“如无随机因素，或剔除突发事件影响，我们结论……”其实定义某种事为随机，只表明他并不了解这种随机结构与规律。混沌系统中出现的，恰是传统思维视为随机而加以排除的不必要因素。传统研究者拒绝思考、故意回避这项挑战，而自造些与自然界全然无关的理论。股市一如大自然，唯混沌观念，适合描述与理解——它的演进。
5. 自相似性
海岸线、树的枝叶、价格走势图都是这种特征——在不同放大等级下，总显示出相同的模式。如一张纯粹价格波动曲线图，没数字，那么你怎么可以知道这根曲线是5分钟波动？还是月线走势图？是个股？还是指数？是投资基金的杰作？还是民间野庄操盘结果？是来自允许T+0的市场？还是已设了做空机制的市场？是解放前流氓掮客自发形成的低级混乱的投机市场？还是来自经过了投资者素质教育之后的或者仅允许拥有金融硕士以上文凭的高素质投资者参与的市场？是洛基山脉剪影？夏威夷海岸线？门前泼出的一汪清水的边缘？——没有区别。
多年来，很多金融人士误以为导致长期波动和短期波动的原因是不同的，于是分别去找到许多原因，用以解释总结过去，用以展望规划未来。最终找到的却都非真正原因。提升观察层次后再看，就知它只是在很单纯的遵循着混沌系统规律，生生不息的运行。
多年来，人们为股市所做的大部分研究与思考，多数爱护股市的方式，都偏离了正道太远，没什么用处。唱多的文章总是十倍于唱空，数千万参与者，对股市上涨千思百虑献计献策，百倍于一小撮坏分子散布的谣言，可是终久没能改变这样一个现实：每年的阴阳K线，永远一模一样多。市场只严格的遵循大自然的法则演化，不管人类们正在怎样理解着它、寄望于它。
6.自组织性
我们常见到花瓶破碎，突然从有序走向无序和混乱，但很少见到相反过程——这就是曾引起世人极大恐慌的“热力学定律的不可逆性定律”，换一种说法是“世界及其秩序终将崩溃”。最终混沌研究发现，它仅适用于封闭系统，即没有能量补充，或与外界热量交换的场所。这也就可以理解为何股市上所有的存量资金换手行情，都终将随着时间的流逝，而乱做一锅粥。..
“混沌（高层次秩序）是自然法则，秩序（线性规律）是人类的梦想。”（亚当斯）……股市与自然何其相似！其实，两者根本就是同一。在更高一级层次上认识它们时，所有的道理都是相通的——所有的事物并非相互关联而已。事实上，任何人当进入正确融入自然时，都会有那种万事万物一致性的强烈感受。在这种交易心境中，每一种现象都“如同一颗钻石的每一个切面”，“时间似乎祥和而静止，交易场所成为一种永恒广袤而单一的景象，移动仅存在观察者的眼中。”（比尔·威廉姆斯《混沌操作法》）
其它基本概念还有：过程的有序与结果的不确定性；临界状态；奇异吸引子；缺口原理；反馈原理；对流原理等等，都是混沌体系的有机组成部分。
日前新浪网公布今年最重要物理学新闻，美宇航局“威尔金森微波各向异性探测器”探测结果：年龄约137亿年的宇宙中，普通物质、暗物质和暗能量构成比例分别为4%、23%和73%。人类对自身、社会、大自然、证券市场的认识，也差不多是这个比例。大部分影响力，迄今尚未为人所知，但它们无时无刻不在起着作用。
混沌也能使你更易理解大师们终生的感悟。如道氏眼中永恒的5-3波浪态、江恩《时空隧道》轮中之轮的循环的描述、其及对书中之书《圣经》的解读，谭健飞《操盘》：“好的操盘手是没有观点的操盘手。”爱德华的“顺势而为”《交易与禅宗》：“让市场而非自我去做决策——我不做技术分析、基本分析，我仅仅随市场波动。”具备混沌基础后，再读巴菲特、索罗斯、李佛莫尔、各种各样的华尔街股谚等，会有全新的认知与感悟，你会看见他们多年的理念与见识，多方面的认证了混沌世界所认可的规律。更有助于理解均线系统或MACD等的价值与重点所在，以及RSI、KDJ等技术指标之无价值。宫本武藏在其传世兵书的序中写到：“终于在55岁时，我悟到了所谓兵法的精髓，至此所有的修炼方式对我都失去了意义。我懂得了做一切事情的至高无上的方法，乃是仿效自然。”
混沌理论，这个新世纪科学界的崭新世界观和方法论，能轻易的扫除许多传统理论的大小谬误与误区，但其自身的发展，仅仅还只是开始，未来广阔的进步空间，也将超过今天我们所有的理解。
布莱克在《混沌开创新科学》写到：“相对论排除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除了决定论可预见性的狂想。”更有人说：“20世纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子力学和混沌”。“上世纪初人们经历了相对论和量子力学两次科学革命。混沌革命，却是我们正在经历的革命。”
混沌资本投资研究
1、引言 在数学科学中，由于确定性混沌（Deterministic Chaos）的发现，涌现出了“非线性复杂性”研究的浪潮。可以说，90年代任何科学发展，包括社会科学在内，它的前沿问题都是非线性问题。作为研究非线性问题的科学分支之一的混沌理论，因而就成了各个学科研究应用的前沿领域。
资本市场作为社会经济系统的一个子系统，本质上是一个非线性系统。混沌理论与方法应用的热门领域之一就是对金融、证券等资本市场的研究。资本市场有四种状态，a、无干扰状态；b、受到干扰后的不稳定状态；c、混沌状态；d、稳定状态。由于资本市场存在出现混沌状态的可能性，并且资本投资作为资本市场的主要组成部分，因而，如何在混沌的资本市场环境中预测资本投资的收益，如何分析资本投资的影响因素，如何应用混沌理论和方法来对资本投资的时机、方向和力度作出决定，这些便是摆在我们面前的实际问题，本文从定性角度对这些问题作些论述。
2、混沌理论及在资本投资研究中应用的现状和进展
2.1、混沌理论简介
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。
混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。不确定性行为只会产生在随机系统里。然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。1975年由李天岩和他的导师Yorke在题为《周期3蕴涵混沌》的论文中提出了Li-Yorke定理，从此定理出发，形成了混沌的专门定义。
2.2、混沌理论及方法在资本投资研究中应用的现状
混沌理论及方法在资本投资研究中应用主要表现在二方面，一是：利用混沌理论来研究资本投资市场奇怪吸引子的分形维数，从而确定资本投资市场运作主要由几个因素的作用决定。这方面国内外都有学者作了研究，例如E.Peters对“标准一普尔500家指数的奇怪吸引子”的研究，徐前方关于“上证指数中的奇怪吸引子”的研究，张永安等对“退率波动的奇异吸引子测定及其应用分析”等等。这种方法只能确定复杂系统主要影响因素的个数，而不能确定影响因素，因而应用上具有一定的局限性。二是：利用混沌理论来研究资本投资市场时间序列的特性，从而预测资本投资的回报及资本投资市场的周期变化规律。例如：刘洪、李必强的“基于混吸引子的时间序列”，张立洪关于“经济数据中存在混沌吗？”的研究，毛法根、叶中行等关于“期货混沌理论的定量研究（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）”，E.Peters利用混沌理论对S&p500指数、英国、德国、日本等股票指数也进行了动力学分析，得出了各股票的李雅普诺夫指数的特性。混沌预测是目前预测方法中比较常用的一种方法，但这种方法要求的数据量大并且通常还要消除通货膨胀对资本投资影响的趋势。
3、资本市场的混沌性态分析
3.1、有效市场假说（EMH）
在资本投资学中，“有效市场”是广泛使用的概念之一，是数量化资本市场理论的基石。有效市场假说（EMH）起始于本世纪初，它使我们能借助于概率和微积分来分析资本市场。在有效市场假说中，有关投资的信息都已分开，每个投资者是理性的，并且对资本市场的各个影响因素服从IID分布(independent,idencally distributed)。EMH是一个线性范式，线性范式基本上是说，投资者以线性方式对信息作出反应。也就是说，在接到信息时立刻作出反应，而不以累积的方式对一个事件序列作出反应。同时，线性范式暗示收益率应该有近似正态的分布，应该是独立的。
3.2、资本市场的混沌特性
EMH建立在线性范式基础之上，然而，EMH经常不能解释市场行为，以EMH为基础的模型，如资本资产定价模型（CAPM），同样表现出严重缺陷。线性范式有效性的失灵的原因深藏于对资本市场缺乏非线性化的认识。资本投资市场实质上是一个非线性系统，资本投资的收益率不象EMH中那样严格服从高斯随机正态分布，特纳（Turner）和魏格尔（Weigel）（1990）使用1928-1989年的S&P指数的日收益率分析了收益率频数分布，提供了足够的证据说明美国的股票市场收益率不是正态分布的。在另一个对于长期国库券、短期国库券和欧洲美元合约的期货价格的研究中，斯特耶(Sterge)（1989）发现了同样的尖峰态分布。因此，在资本投资市场中，普遍存在着收益率的概率的线性范式和EMH的失灵。
EMH认为，投资者对信息反应是迅速的，也就是未来价格只能由新的信息决定。然而，大多数人会等着确认信息，并且不等到趋势已经十分明显就不作出反应。证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，可能会导致一个有偏的正态分布，使得在资本市场中的投资收益率的时间序列不是二维的，而是存在分数维。例如E.Peters利用RS分析方法（重标极差分析法），得出S&P月收益率的时间序列的维数是D0=1.29。资本投资市场的混沌特性起源于资本市场投资信息的不对称性、各投资者对信息反应的不同敏捷度和投资者总体上对信息作出反应的时滞性。
4、混沌资本投资市场环境中的资本投资对策
混沌的资本投资市场环境是一个复杂非线性的系统，要掌握其变化及发展规律，仅靠传统的线性范式来研究已远远不够了，我们应该采用新的范式来研究资本投资的对策。投资对策主要涉及两方面问题：一是分析投资收益率的影响因素；二是分析投资收益率的变化特性。混沌系统理论在这两方面都提供了强有力分析方法和工具。
4.1、资本投资收益率时间序列维数的确定
一般情况下很容易得到某项投资收益率的一组时间序列值，即系统的一维信息，而这种维信息包含子系统的所有特征量，但由于这种一维表示方式使系统的动态和多维特征未能体现出来。一些多维信息因之被损失。Packard提出的相空间重构的思想以及Taken研究的嵌入定理，很好地解决了混沌时间序列的关联维和嵌入维数的确定。投资收益率的混沌时间序列的关联维能让投资者判别投资项目混沌吸引子是否存在，进一步分析有多大的自由度来表述该投资项目。而嵌入维数的确定能描述投资收益率变动的动力系统的变量的个数。在具体进行投资可行性分析和进行投资控制时，可以先用以上方法分析混沌时间序列，找出关联维和嵌入维数，了解有多少因素影响资本投资收益率，再结合别的方法（如因素对比法）确定是什么影响因素。
4.2、投资收益率对初始投资的敏感性分析
混沌系统的重要特性在于对初始条件的敏感依赖性。由于混沌资本投资环境的客观存在性，因而在进行初始投资值对投资收益率的灵敏度分析时，不能采用传统的灵敏度分析方法——边际分析方法进行分析，在混沌系统中，敏感度的变量常用Lyapunov指数 (λi)给予表征。计算公式参见文献。
投资收益率时间序列的Lyapunov指数表示重构的投资时间序列相空间中相邻两点随时间的演化的分离程度，它能判断资本投资系统是否具有混沌性，若最大的λ0，则系统是混沌的，最大的λ0，则系统是非混沌的，这就是我们认识资本投资环境提供了判据，为我们选用适宜的制定投资对策的方法提供了前提。
4.3、资本投资过程中混沌和秩序的并存性
任何一个系统的演化过程，总是遵循从简单到复杂的过程，资本投资市场形成发展也经历同样的过程，这也必然使得像EMH这种线性范式在分析资本投资时也曾非常有效，虽然，随着社会经济系统日益向复杂化方向演化，但我们也不能抹杀资本投资市场秩序性的一面，恰恰相反，从总体和宏观角度来考察，秩序还是占据主导地位。我们在分析资本投资市场时，也要根据分析的精度和深度，选择采用的分析方法。例如，影响因素较少的投资分析，可采用传统分析方法（如净现值分析法，回收期法等），而复杂环境下的投资分析，可从混沌理论角度来进行，如对股票指数、利率、汇率等投资指数的分析。
5、结束语
Henry Adams曾说：“混沌是自然的法则，秩序是人类的梦想”。这句话充分体现了混沌现象的普遍性。资本市场作为社会经济系统的一个子系统，因而也广泛存在着混沌现象，本文从定性角度肤浅的探讨了混沌理论在资本投资研究中的进展情况及自己对这一研究领域的一些体会，但愿能给读者带来一些启发。(完)
分形理论
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?
显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就确定了。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
混沌理论对股票价格变动趋势的解释
1.混沌理论为研究股价变动趋势提供了新的视角 不管人类怎样力图使世界变得秩序井然，世界却仍然保持了其混乱的特点，其中，人类所创造的经济和资本市场就显得特别缺乏秩序。经济学家认为所有东西都是均衡的，供给等于需求。当系统受到扰动时，外生因素使其偏离均衡，系统对于扰动的反应是以线性方式回归均衡，系统将立即做出反应。因为系统希望处于均衡状态而痛恨失去平衡。 均衡就意味着排除了感情因素的存在，如贪婪和恐惧，但是这些因素往往却是促使经济进化的必要条件。管制这些因素并在某种程度上限制其影响是可取的，但将其完全去除则意味着一个系统的死亡。 计量经济学认为市场和经济对于过去的记忆是空白的，或者是有限的。但现实是，过去所发生的事件会影响到人的方方面面，甚至是现在进行时的事件也会改变一个人对未来的期望。在资本市场理论中，这种反馈，过去影响现在，而现在影响未来，而所有这些却在理想化的模型中大部分被忽略了。因此干净利索的、最优化的解是不适用的，现实中有的却是多个可能的解，而这些性质（如远离均衡状态条件和时间依赖反馈机制）却是属于非线性范围。 2.混沌支配着股价变动 传统的经济模型依旧建立在基于均衡函数的线性模型基础上。这些模型表明了经济活动中的各种因素是如何连续适应其他因素的变化的，但是没有正确考虑许多正反馈。即使考虑了反馈因素，这些反馈一般都是负反馈，也就是导致稳定的反馈，而不是导致不稳定的正反馈。因此，线性模型不是不够完善，而是可能从本质上就搞错了。许多经济和金融系统都存在固有的长期不可预测性。人们越来越认识到确定性混沌是长期经济预测深不可测的一个重要原因，而线性模型与实际情况相去甚远。这种复杂系统的最终结果与初始值有很大关系，也被称为“确定性混沌”。 3.赫斯特指数证明股价变动是具有趋势的 一般地说，有些市场参与者确实一接受到信息就马上做出反应。然而，大多数市场参与者却会等着确认信息，并且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。证实一个趋势所需的确认信息的时间是不同的，但对于信息的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游走。赫斯特在20世纪40年代全面地研究了有偏随机游走，芒德勃罗在60年代和70年代再次作了全面研究。芒德勃罗把它们称为分数布朗运动。我们现在叫它们分形时间序列。 赫斯特通过用观测值的标准差去除极差（最大值和最小值之间的差）来建立一个无量纲的比率。由此，这种分析方法被叫做重标极差分析法7（R/S分析法）。赫斯特发现，大多数自然现象，包括河水外流、温度、降雨、太阳黑子等，都遵循一种有偏随机游走（一个趋势加上噪音）。 由于我国的股价数据较短，因此影响对赫斯特指数的测算。但市场人士普遍认为我国的赫斯特指数是大于0.5的，比较接近于0.6，也就是说我国的股价变动是具有趋势性的。 4.分形理论指出股价变动趋势是自相似的 分形形状在空间方面显示出了自相似性，这就是说，历史的股价走势形态会在未来重现；而分形时间序列也在时间方面显示出了自相似性，这无疑肯定了股价变动的时间周期理论。最容易觉察到的自然分形中的一个例子就是树。树是按分形标度伸出枝杈的，每一个枝杈上面伸出更小的枝杈，在质的意义上与整个树相类似。 分形分析使得数学对模型制作者更复杂了，但它得出的结果更接近于实际从业者的经验。资本市场的分形结构给了我们循环、趋势和许多可能的“公平价值”。分形统计学承认生活是混乱和复杂的，存在着许许多多的可能性。 5.结论 由混沌理论可以看出，现实世界是一个复杂的、混乱的、交互的和适应的系统，其中，典型的代表就是股票市场。虽然可以通过非线性数学论证股价变动的趋势性和自相似性，也可以大致判断出股价变动呈现出的没有特征长度或时间标度的循环（也称非周期性循环）。但是，如何判断股价变动的趋势仍需要其它理论的支持。
赌博、交易与投资(艾必译,多空俊秀校正补充)
比尔·威廉姆斯
交易者在听取所谓“权威人士”的意见时，大多数人都感到困惑。例如，在交易中最常听见到的2条建议—低买高卖和跟随趋势。显然，这2条不能都做到。如果低买，就意味着没有跟随趋势；而如果跟随趋势，就肯定低买不到。那么有两全之策吗？绝对有！我们简单地可以兼顾之。
在趋势之初时，大多数的交易者都是错的。在趋势中段，一半交易者是做对的，而另一半仍然是错的。在趋势末端，大多数交易者都是正确的，而那就是趋势的转折处。第一次最好的进入时机，是在我们的“BDB信号”出现时（即牛熊分界棒线，详见《混沌交易Ⅱ》一书）。在依据BDB信号进入之前，我们是从不知道交易是否是在赌博。如果拥有了远离鳄鱼组线的BDB信号后，交易就是个很好的赌博方式了。交易的初次终止，是在BDB信号的另一端。
假如市场确实沿着交易者的方向运动，就在任何分形信号和超级AO信号处加仓。这样能有助于交易者通过鳄鱼组线的拥塞缠绕状况。从这点来说，我们在“交易”。
再假设，市场是继续沿交易者的方向在前进（我们的交易停顿处是在BDB信号的底部），直至全部的三个“聪明人信号”（即BDB、分形和超级AO）都被触及。然后，我们转入投资模式并将停顿处改到紫线下的2个终止位。将紫线下的2个终止位作为交易结束的地方有助于使交易者处于主要趋势中，而不会在次级回调中让交易者出场。
这就是我在股票、商品和指数交易中所采用的策略。在几乎44年的积极交易中，这一策略是我们所发现的最简单和收益最大的交易方法。
http://photo6.hexun.com/p/2007/0515/96951/b_ED259BB5A5D4219CFFA2BB1309FD3DB2.jpg
鳄鱼组线Alligator和Gator的原始定义
In principle, Alligator Technical Indicator is a combination of Balance Lines (Moving Averages) that use fractal geometry and nonlinear dynamics.
[*]The blue line (Alligator’s Jaw) is the Balance Line for the timeframe that was used to build the chart (13-period Smoothed Moving Average, moved into the future by 8 bars);
[*]The red line (Alligator’s Teeth) is the Balance Line for the value timeframe of one level lower (8-period Smoothed Moving Average, moved by 5 bars into the future);
[*]The green line (Alligator’s Lips) is the Balance Line for the value timeframe, one more level lower (5-period Smoothed Moving Average, moved by 3 bars into the future).
Lips, Teeth and Jaw of the Alligator show the interaction of different time periods. As clear trends can be seen only 15 to 30 per cent of the time, it is essential to follow them and refrain from working on markets that fluctuate only within certain price periods.
When the Jaw, the Teeth and the Lips are closed or intertwined, it means the Alligator is going to sleep or is asleep already. As it sleeps, it gets hungrier and hungrier — the longer it will sleep, the hungrier it will wake up. The first thing it does after it wakes up is to open its mouth and yawn. Then the smell of food comes to its nostrils: flesh of a bull or flesh of a bear, and the Alligator starts to hunt it. Having eaten enough to feel quite full, the Alligator starts to lose the interest to the food/price (Balance Lines join together) — this is the time to fix the profit.
http://www.metaquotes.net/images/techanalysis/indicators/alligator/alligator.gifhttp://www.metaquotes.net/images/techanalysis/indicators/alligator/gatorhdr.gifGator Oscillator is based on the Alligator and shows the degree of convergence/divergence of the Balance Lines (Smoothed Moving Averages). The top bar chart is the absolute difference between the values of the blue and the red lines. The bottom bar chart is the absolute difference between the values of the red line and the green line, but with the minus sign, as the bar chart is drawn top-down.
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沪深300小时时空波浪预测图 09.04.21 持股，目标3000！ [原创 2009-04-21 15:26:18]
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沪深300小时时空波浪预测图 09.04.15 冲顶，谨慎，减仓 [原创 2009-04-15 22:09:11]
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沪深300小时时空波浪预测图09.04.14 冲高回落,减仓观望 [原创 2009-04-14 08:10:37]
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LME铜日K线时空波浪预测图 09.04.12看涨 [原创 2009-04-12 08:30:33]
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黑天鹅江权580026，展翅飞翔！ [原创 2009-04-10 18:53:38]
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沪深300日K线时空波浪预测图09.04.09 减仓观察2671 [原创 2009-04-09 21:57:11]
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沪深300日K线时空波浪预测图 09.04.09 冲高离场观望 [原创 2009-04-09 18:04:33]
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沪深300日K线时空波浪预测图 09.4.08 调整持股结构,待涨 [原创 2009-04-08 17:57:05]
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沪深300小时时空波浪预测图,09.04.07 涨到本周五 [原创 2009-04-07 15:35:42]
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话说波浪理论研究（十四）---艾略特波浪理论的主观随意和实战制约(转） [原创 2009-04-06 17:30:36]
艾略特波浪理论的主观随意和实战制约
人物简介
早年的艾略特从事的是企业会计工作，后来由于生病修养无事可做的原因，偶然地开始了从事股票投资分析的理论研究。他当时研究股市投资理论的起因，并非是因为参与残酷投资实战的需要，而仅仅是他生病无聊之后的消遣。因此，这决定了他绝对不会象实战投资家一样，背负着沉重的投资资金安全和资金增值的巨大交易心理压力。所以，他的研究视角也并非源于实战的迫切需要，而仅仅是为了证明他自己的无比聪明而已。其它，事情就是这么简单，才会隐含着脱离实战的巨大缺陷问题。投资者在研究和运用该理论的时候，对此务必要引起高度的重视和警惕，并且对其理论缺陷一定要想出在实战中的应变之道。也就是说，艾略特始终是以分析家而非运作大资金的实战家的眼光和思路来研究股票市场的他没有运作过大资金，就绝对无法真正亲身地感觉到投资家需要的是什么。（多空俊秀语：艾略特作为旁观者分析研究出的波浪理论揭示了证券走势的客观存在，是那些深陷其中的人无法做到的。该理论本无上文所说的巨大缺陷，当然存在需要完善之处，特别是用于实战更需要制定出严密的规则，显然波浪理论没有在这方面展开。波浪理论是普适性理论，各人可根据自己的特点结合波浪理论制定出自己用于实战的交易系统，这与波浪理论有无缺陷没有关系。本节同时告诉人们艾略特并不是用波浪理论从事交易而晚年贫困而是生病，这一点与江恩等大师不同）。
波浪理论的要点：
自然的波动韵律是艾略特波理论的灵魂。股价运动要素的模式、时间、比例及其相互关系是其波浪理论体系的关键构架。即是说，市场的运动趋势可以用波浪来进行体现。在波浪的运行中由于人类行为模式并非仅是简单的重复，因而浪形往往总是并非必然地以交替的方式运动。
1、艾略特把主级正向波的运动趋势以推动5浪的存在形式进行划分和确定； 而反次级逆向波以调整3浪的存在形式进行划分和确定。也就是说市场运动必然可以用这8浪的存在形式进行包含，至于为什么是8浪艾略特本身并无法从理论上进行证明。其仅仅表现为大量的统计规律特征而已。我们由此而来也可得出艾略特的波浪理论也并非是市场运动绝对不变的天条。实际的市场中必然隐含着不符合艾略特波浪理论所描述的运行形式存在，而这一点就连艾略特本人也并不清楚的认识，因此他也就对此无法进行正确的描述。普通投资者如果认识不到自己将要使用的投资理论的缺陷也就无法真正正确使用该理论，并正确发挥该理论的长处及回避化解由于该理论的缺陷所带来投资风险。（多空俊秀语：循环8浪是统计分形的结果，是分形几何在金融领域中的应用。当然存在意外，但这些意外完全可以忽略，并不影响波浪理论的完整性。）
2、艾略特本人坚信， 市场的价格运动与人类行为变化以及自然的客观规律之间存在确定的规律性关系而这种关系可以用艾略物波浪理论进行描述和反映，其具体体现在三个方面即模式关系时间关系以及比例关系。而以后的人，正是在这三个不同的方面进行发展而形成了不同的波动理论的分析派别。诸如精确化波浪记数派，费波纳兹级数派，市场心理结合派以及目前最先进的计算机记数派等等。
3、艾略特波浪理论的模式关系，更多地是心理变化因素对股价的作用， 而时间关系和比例关系则更多地是表现了自然规律对股价运动变化的作用而且，这种作用效力的存在，对任何股市而言均概莫能外，绝对不存在中国股市比外国股市在规律上特殊，这种幼稚浅薄的说法。这也绝对成为不了某些人无法成功运用该理论的借口。
4、艾略特波浪理论，从总体上来说是一种预测性理论。 其预测方法的关键手段就是对于费波纳兹级数以及由此派生出来黄金数字的组合运用并且这种运用具体地表现在股价运动的时间周期和空间位置上，这也是艾略特波浪理论中科学内涵最多的精华部分，因为，它们反映的是自然的规律对市场的可能存在的定量化作用行为。可惜的是，艾略特本人自己，并没有很好地认识到这一点。而将其对波浪理论的研究重点放在了不确定性较多的人类行为模式的研究方面，而对其科学的起点进行了偏离，将自己的理论研究在某种程度上引向了歧途，而忽略了对其它两个客观成分含量更大的时间要素和比例要素的更加深入的研究。艾略特的部分门生，在这一方面上甚至偏离的更加遥远，及至达到走火入魔的可悲境界。如国内投资者最为熟悉的所谓波浪理论的掌门人，精确化波浪记数派的代表人物PRECHET柏切特。 当然该派最终是以彻底的惨败为自己面上了句号的。（多空俊秀语：艾略特晚年不到十年时间发现波浪理论，在时间与比例上来不及更深入的研究，这没有什么好责备的）。
5、艾略特波浪理论的结构可以用如下图示进行彻底的描述， 从中我们可以轻易地掌握波浪理论的精髓，也可以明显地发现波浪理论的缺陷。
其实自然既有和谐的部分也更大程度上存在不和谐的部分FIBONACCI级数并不能全部进行描述片面地将自然简单划分为和谐是人类对自然研究方法的误区。这样的错误江恩、牛顿、爱因斯坦均有。
艾略特认为波浪的三大要素无论是宏观还是微观扩展均必须按IBONACCI级数进行就犯错误了。（多空俊秀语：这完全是误解，艾略特从来没有说必须按FIBONACCI级数。只是认为黄金分割的概率比较大） 千百年来人类总是渴望彻底认识自然，并进而彻底把握自然，甚至于中国***讲的要征服自然其实，这些都是错误的认识和思维方式，人类为什么不认真想想自己就是自然的产物，为什么不与自然和谐相处，而要狂妄地起去征服它呢？利用人类自己能够认识到的部分规律，好好与自然和谐相处，人类就会非常幸福了，拼命地妄想改变自然，征服自然最终得到的却是自然的无情处罚。这样的例子已经太多了、太多了。
从科学的角度上说，就是人类永远也不可能得出或找到一个规律来囊括自然的全部规律。自然从总体上将是模糊和不精确的，目前的科学只能在很小的限度上认识到局部精确的自然规律，因为精确是自然的特殊情况。这也就是牛顿最终还是借助上帝，爱因斯坦晚年的眼睛充满绝望和悲伤的根本原因。他们企图认识自然根本规律的幻想彻底破灭了。在这一问题的认识上作者是幸运的，在大学的初期，作者对此就有了清醒的认识，那年作者刚刚20岁，绝望，彻底的绝望才能产生互灭后的新生。
具体到股市来说就是，任何企图包含市场所有运动规模的理论都是不可能存在的，也是其理论创立者科学素养和理论物理功力不足的必然结果。我们不可能全部认识股市规律，我们也不可能彻底把握股市的所有机会，我们必须承认自己的无能为力。我们只能操作自己能够认识和把握的市场机会，其他的机会留给别人吧。这就是，不参与走势不确定的调整的根本理论依据。认识到这些，你在投资的时候就能乱云飞渡仍从容!
波浪理论的缺陷：
对完美主义的错误追求和对人类智力水准的过高估计是艾略特波浪理论产生错误的根源。艾略特从本质上没有认识到波浪理论不能也不必囊括市场的所有规律。艾略特总是千方百计地企图将每一种股价的波动都包容在自己的理论中，这就是晚年的艾略特越搞越复杂的根本原因。他根本就不知道市场中还大量存在不满足FIBONACCI级数能够描述的价格运动。 这是艾略特投资哲学的根本性错误。下面几点是其理论的具体错误：
1、波浪的起点不能定量、客观地精确化确定。 这就象江恩理论一样给具体的投资实战投资带来了巨大的操作难度。（多空俊秀语：你从哪里来并不重要，要到哪里去才是重要的。用已经存在的记录寻找波浪特征点，正确描述已经存在的现实才能知道要到哪里去）。
2、波浪理论是一套预测为主的研判刑系统。 艾略特本人并没有制定将分析研判刑系统与实战操作系统转化的精细规则。这一问题直接决定了波浪理论最好只作为宏观定性使用，实战切忌精细化使用倾向。（多空俊秀语：波浪理论首先是描述市场，然后才有预测功能，用于实战必须制订相应的策略才行）
实战运用：
实战中，我们可以很好借用波浪理论的股价空间比例和时间比例关系，用以将投资行为的可能风险和收益进行对比，以确定投资活动是否展开和所用时间的大概。实战中切忌将该理论的预测结果用来确定自己的实战操作行为。每个投资者都必须牢牢记住，实战投资家是市场追踪者，其一切实战操作战术行为都必须是以市场发出的客观信号为准， 绝对不是以自以为是的预测结论为准，这是确定投资者是否专业的关键 。也就是说，艾略特理论在投资实战中只具有参考作用，不具备操作时的决定作用。
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纽约金指日K线时空波浪预测图09.04.04 金子双平台调整 [原创 2009-04-04 10:25:09]
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沪深300小时时空波浪预测图,09.04.03 热点转换,涨指数不涨个股 [原创 2009-04-03 15:52:30]
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沪深300日K线时空波浪预测图09.04.01 强势上涨，继续持股 [原创 2009-04-01 16:05:37]
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沪深300日K线时空波浪预测图,09.03.27.下周强势上涨 [原创 2009-03-27 15:20:53]
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09年最大的黑天鹅：江铜权证580026 [原创 2009-03-27 08:38:05]
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沪深300小时时空波浪预测图,09.03.26 逢低买入,坚定持股 [原创 2009-03-26 19:04:57]
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沪深300日K线时空波浪预测图 09.03.25，调整周五结束，低买！ [原创 2009-03-25 15:22:40]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图09.03.24 已破前高，上涨无疑！ [原创 2009-03-24 19:38:20]
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沪深300日K线波浪预测图,09.03.23 坚定持股到五一节 [原创 2009-03-23 20:16:20]
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沪深300十五分钟小时时空波浪图09.03.20 强势调整，积极做多 [原创 2009-03-20 21:11:13]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图09.03.20 大胆买入 [原创 2009-03-20 08:11:39]
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沪深300小时时空波浪预测图,09.03.13,静候下周突变 [原创 2009-03-13 19:14:10]
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深沪300小时时空波浪预测图09.03.12,调整到三角顶点 [原创 2009-03-12 19:47:48]
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沪深300小时时空波浪预测图,09.03.09,调整并持股 [原创 2009-03-09 19:06:45]
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沪深300日K线时空波浪预测图,09.03.06, 持股待涨 [原创 2009-03-06 21:05:58]
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沪深300小时时空波浪预测图09.03.04，调整中的反弹 [原创 2009-03-04 16:03:56]
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沪深300小时时空波浪预测图,09.02.27,继续调整到3月中旬 [原创 2009-02-27 22:03:21]
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沪深300小时时空波浪预测图(09.02.26),减仓操作 [原创 2009-02-26 18:17:49]
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沪深300日K线时空波浪预测图(09.02.25)，冲高减仓 [原创 2009-02-25 20:19:18]
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沪深300小时时空波浪预测图 与19日预测一致，继续调整 [原创 2009-02-24 20:48:48]
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沪深300小时时空波浪预测图(09.02.23)，逢高减持 [原创 2009-02-23 16:17:44]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图(09.02.22)继续调整，谨慎观望 [原创 2009-02-22 10:55:55]
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沪深300小时时空波浪预测图09.02.19 调整需要时间 [原创 2009-02-19 16:55:18]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图(09.02.18) 继续调整 [原创 2009-02-18 18:14:28]
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沪深300小时时空波浪预测图(09.02.17)。强势调整 [原创 2009-02-17 17:48:29]
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沪深300指数大B运行中，不差钱！ [原创 2009-02-16 18:11:33]
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300指数从1606开始的大B进行中，将以双锯齿完成大B，最低目标3150点。大B振荡向上，不差钱！
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沪深300小时波浪预测图(09.02.15).浪3延长修正 [原创 2009-02-15 11:47:20]
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沪深300小时时空波浪预测图（09.02.13）小心振荡 [原创 2009-02-13 21:58:44]
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波浪国际对小麦的预测 [原创 2009-02-13 17:08:02]
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波浪国际对玉米的预测 [原创 2009-02-13 11:26:54]
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波浪国际对棉花的预测 [原创 2009-02-13 06:52:38]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图（09.02.12）。强势调整 [原创 2009-02-12 21:41:57]
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波浪国际对白糖的预测 [原创 2009-02-12 12:22:30]
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波浪国际对大豆的预测 [原创 2009-02-12 08:15:02]
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沪深300日K线时空波浪预测图（09.02.11）。选择调整形态 [原创 2009-02-11 19:43:17]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图（09.02.10），谨慎做多 [原创 2009-02-10 18:05:24]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图，09.02.09。作好逃跑的准备 [原创 2009-02-09 19:13:50]
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豆油指数波浪预测图（09.02.08） [原创 2009-02-08 12:04:55]
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沪深300小时时空波浪预测图(09.02.07)。积极参与 [原创 2009-02-07 12:04:08]
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沪深300小时时空波浪预测图（09.02.05），逢低买入 [原创 2009-02-05 15:28:46]
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沪深300小时时空波浪预测图（09.02.03）持有待涨 [原创 2009-02-03 12:47:32]
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2009年LME铜周K线时空波浪预测图(09.01.27) [原创 2009-01-27 10:33:35]
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沪深300日Ｋ线时空波浪预测图(09.01.24),节后第一天决出方向 [原创 2009-01-24 12:30:06]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图(09.01.22),向上冲击 [原创 2009-01-22 15:42:21]
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沪深300十五分钟时空波浪预测图(09.01.20).持股过节 [原创 2009-01-20 22:58:20]
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