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- 2007-8-14
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【哥德巴赫猜想】与“a+b”和“1+b”的证明方法
哥达巴赫猜想是意义深远的，如果能把任意一个整数分解成3个质数之和，这无疑相当于宣告：整数的问题可以划归为0,1和质数的问题。
于是但凡研究数学的人，无疑不对这个未解难题垂涎三尺。 你包括我，最近阅读的材料都是王元，陈景润，华罗庚的关于这个猜想的研究成果。
当然我不说大话，只不过是作为一种兴趣爱好，了解一下这个问题罢了，你们不要想太多。万一哪天一不小心，对吧……
实际上,在中国广为流传的“1+2”和“1+1”，说的不过是哥德巴赫猜想的一种证明方法罢了。
这个猜想最大的难点在于，一般无穷的问题，我们只能用归纳法或者反证法解决。
但是质数的生成是没有递推规律的（或者更严格的说，是人类尚未发现质素之间的递推关系），导致归纳法用起来非常困难。
于是一些科学家尝试，能不能用逼近的方法接近哥德巴赫猜想？也就是先证明一些要求宽松的命题，从中探寻规律再利用这些规律证明猜想。 这实际上也符合人类解决问题的一般思路，由浅入深，由简单到复杂，由特殊到一般。
【“a+b”证明方法】
法国人提出来的，他提供了一种思路，我们可以先放宽要求，把问题改成：
任何一个大于2的偶数，都可以表示成【两个部分】的合
这两个部分，每一个部分都可以被表示为【有限个质数的乘积】，其中一个部分可以表示成a个质数的乘积，另一个部分可以表示为b个质数的乘积。
这个命题就被称为“a+b”命题，而哥德巴赫猜想，按照这个定义，实际上就是要证明大偶数可以被表示为“1+1”的形式。
注意：这个1+1的意思是，偶数可以表示为两个部分的和，每一个部分都是1个质数。这和“1+1=2”显然没有半毛线关系。
法国人率先证明了“9+9”，
即一个大偶数，都可以表示为两部分的和，每一个部分都可以表示为9个质数的成绩。
实际上，a+b两部分，都是合数。这和哥德巴赫猜想本质上完全不同。
随后，中国数学家在这个问题上取得重大突破，从9+9出发，连续减少a和b的数字。 王元院士在这个问题上攻城拔寨，一直把“9+9”减小为“1+3”。中国科学家证明用到的思路是“筛选法”，其实，到1+3，已经非常艰难了，当时普遍认为这个思路已经走投无路了。
1966年，王元先生的师弟，在中国尽人皆知的数学家陈景润先生，发表了论文《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，震惊世界。 陈景润用非常巧妙的方法，证明了“1+2”。 看似一小步，实际上真的是困难重重，陈景润先生，已经把筛法用到淋漓尽致了，换句话说，筛选法，已经走山穷水尽了。
【一步之遥还是咫尺天涯？】
很多科普杂志或者媒体，经常说陈景润把哥德巴赫猜想证明的只有一步之遥。实际上这种说法非常不负责任。
哥德巴赫猜想：
任何一个大偶数，都可以表示为两个质数的和。 关键在于，它的落脚点是2个【质数】
“a+b”证法，本质上是研究2个【合数】的关系。
“1+b”证法，本质上是研究1个【质数】和1个【合数】的关系。
而“a+b”与“1+b”中的合数，要想划归为质数，何尝不是“哥德巴赫猜想”呢？
这种证明方法，无异于用“0.3333……=1/3”来证明“0.9999……=1”，你没有解释,0.3333……为什么等于1， 这个证明就是无效的。
“a+b”证法，终点就是“1+2”，这个方法永远到不了“1+1”。看似一步之遥，实则咫尺天涯。
就好像小孩子玩拼图，每次都只有最后一块放不上去，但这说明，你前面所有的努力，都是错误的。必须拆了重来。
并不是否认陈景润先生的功绩，陈先生的地位历史早有定论，拜读陈先生的著作，深感其治学严谨，思路活跃，特别是对筛法的使用，估计前无古人后无来者了。 而且陈景润证明的“1+2”，本身也是一个非常伟大的定理了。
我只是想说明：要想真的证明歌猜，必须找到完全创新的一个思路。 传统方法，都已经强弩之末，无力回天了。
【最后补充上我在另一个帖子里关于7的叙述】
一：我和幸运数字7
很多人的幸运数字似乎都是7，因为扔两个骰子似乎很容易得到这个数字。
上了中学，学了点简单的概率知识后，你会发现其实并不是你和7有缘，而是两个骰子扔出7的概率是最高的。
比如我和别人就不一样，一般人喜欢数字6，8 ，9；而我却钟爱7。很多人认为这和我喜欢一本叫《鹿鼎记》的名著有关，其实这是一种误会。 我喜爱7，是因为我很早就发现这个数字是那么的与众不同。
我小的时候，同龄人一般喜欢这么几种玩具：恐龙模型，变形金刚，玩具气枪，四驱车等等。
而我总觉得这些玩意没什么意思，特别是一个小孩追着四驱车炮，配着“biu biu du du da da”的声音玩玩具枪，感觉特别傻。 所以说心理年龄超越同龄人十几岁是个很痛苦的事情，总是那么的缺乏童趣。
而我对七巧板，九连环，孔明锁之类的东西情有独钟。尤其对算盘这个东西爱不释手。我们小时候会学习珠算的，那时候爸爸给我买了一个10档玩具算盘。
我很认真地告诉他：这个不行，太小了，算不了开方。于是我父亲非常吃惊，算盘可以开方？ 我说当然，于是我就在一个10档小算盘上开了一个根号2。
你可以想象，一个刚学了九九表的三年级学生竟然已经知道了无理数这种东西，并且能用算盘完成精确计算，这是一个很不可思议的事情。于是我父亲立刻出去买了当时能买到的最大的算盘：一个48档的算盘。
由于从小对这个东西非常的亲切，以至于经常表现出异于常人的计算天赋。有人问我你怎么算的这么快，我很扭捏，羞涩地告诉他们：我也不知道啊，好像是与生俱来的。于是四下里惊呼天才神童乱七八糟的。
长大了，我觉得这样不好，因为这是骗人的，现在也应该把这些秘密说出来了。实际上是因为我家有一本旧书，民国版的《直指算法综统》，这是明朝数学家程大位先生所著的“珠算百科全书”。
这应该是中国古代最伟大的数学著作了，如果把数学分为《几何》与《算数》，那么来自古希腊欧几里得的《几何原本》代表着几何的最高水平；那么来自中国的《算法综统》，就应该是算数的登峰造极之作。
十几岁的时候虽然不能完全认识上面写的繁体字，但是简单的口诀，丰富的图示，加上算盘不离手的勤奋练习，还是很快掌握了很多高超的珠算算法。现在据说有一门社会培训被称之为《珠心算》，神乎其技，吹的天花乱坠。 我一看他们的教材，便知道这东西滥觞于《算法综统》，早在400年前就很成熟了。
我们小时候流行武侠小说，好像很多主角都无意中捡到一本秘籍，结果主角还不识字，开着图玩了两天就练成绝世神功。实际上我对珠算就有这种感觉。遗憾的事情在于，《算法综统》自民国以后，似乎没有再版，这是一件很遗憾的事情。反观《几何原本》，其发行量与流传程度，仅次于《圣经》。
说了这么多，为什么说我和7有缘？ 因为算盘一档上，挂着7个珠子。
7这个数字真的是非常的神奇，不过似乎只有懂它的人才能懂得它为什么如此的神奇。
你比如说，7虽然是个特立独行的质数，只能被1和它本身整除。
?①：7包含在所有“吉利数字”之中
但如果把它作为除数，它竟然能整除掉所有的吉利数字。你比如666666，你比如888888，你比如686868，你比如668668，再比如886886. 这些数字竟然都是7的整数倍。
?②：最独特的循环小数
1/7=0.142857 142857 142857……
大家可能对1/3=0.3333…… 1/9=0.1111……比较熟悉。并且基于此能能提出“0.9999……为什么等于1”这样的高端问题。
但显然，1/7的样子就有点吓人了。7是如此简单的一个数字，而它竟然拥有着6位循环节。但你也许不知道的是，这循环节里的6位数字，竟然隐藏着无数惊天的秘密。
142857是我的银行卡密码，你们怎么懂我的情怀呢。
★不可思议
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
看出什么了吗？多么的不可思议，不论乘以几，结果只不过是原来的6个数字颠倒顺序罢了。
★真的很不可思议
142857×7=999999
★这才是不可思议的事情
众所周知，5个点可以确定一个二次曲线。 就好像2点能确定一条直线，不共线的3点能确定一个圆一样。
6个点能在一个圆锥曲线上，是一种缘分；如果6个点竟然公椭圆，并且还存在3线共点，那就非常的不可思议了。
142857按照相邻关系，可以形成这样6个点。（1,4）（4,2）（2,8）（8，5）（5,7）（7,1） 之后就开始重复循环了。
这6个点竟然在一个椭圆上！ 而且存在三线共点的“巧合”
（注：这个事情不是我发现的，是偶然拜读彭翕成老师的文章学习到的）
?③ 7与数学家的故事
很多数学家都和7这个数字有缘。
【高斯与“七等分圆难题”】
比如德国数学王子高斯，19岁时证明了争论2000多年的尺规作图难题“七等分圆是无法用尺规实现的”。 高斯实际上解决了所有圆的等分问题，比如虽然“七等分圆”不能实现，但是“十七等分圆”确实可以的。
这个证明是高斯的成名之作，他本人非常得意，生前希望在自己的墓碑上刻一个正十七边形。但高斯去世后，工匠认为这个正十七边形太丑了，因为它很像一个画的很蹩脚的圆，所以工匠把它改成了“正十七角星”刻在了高斯的墓碑上。
【欧拉与“哥尼斯堡的七座桥”】
这个问题讲过了，这里不再重复。29岁的欧拉，实际上一劳永逸的解决了“一笔画”问题，并由此开创了现代数学中炙手可热的《图论》分支。
【高斯的不朽著作《算术研究》，共有7个章节】 （我有这本书的英文版，如果你们谁兴趣浓厚，并且我认为你有能力读这本书，我可以借给你看。这真是本惊世之作）
【祖冲之用割圆术，把圆周率π计算到了小数点后的第七位】
【七巧板被誉为这个世界最神器的玩具，看着就7个部分，已经拼出2000多种图案了】
七巧板早在几百年前，已经能拼出千人千面的108种人物了。各种形态，能反映人物的性格与活动，非常神奇，所以什么样的玩具培养什么样智商的孩子。 现在的小孩都玩装帧精美价格不菲的“喜洋洋与灰太狼”拼图，难怪孩子越来越傻。
【你知道数学学术界最著名的著作共有几本？】 数学七大名著！
1 《从微分观点看拓扑》J.W.米尔诺
2 《 无穷小分析引论》 Introduction to analysis of the infinite 欧拉
3 《自然哲学之数学原理》 伊萨克.牛顿
4 《几何原本》 欧几里得
5 《数论报告》希尔伯特
6 《算术研究》高斯
7 《代数几何原理》哈里斯（Harris）
上图为欧拉的著作《无穷小分析引论》。关于欧拉，我赞美的太多了。
不如听一听另一位伟大的数学家，拿破仑的帝师，数学分析大师拉普拉斯对欧拉的评价
Read Euler, read Euler, he is the master of us all！ （读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师！）
不信？你知道多面体的性质：
定点数+面数-棱数=2 是谁发现的吗？
牛顿一生算不出来的月球“跃动”问题，双目失明的欧拉心算几天就搞定了！
指数，三角函数，复数，自然对数的底数e，完全是在不同领域内单独定义的。本来各不相干，井水不犯河水，他们各自独立的发展了千百年。 可想而知，当欧拉写出这个公式的时候，当时的人们该有多么吃惊！
物理学家一直认为，万有引力，静电力，磁力在表达式上是如此的相似，以至于他们非常愿意相信这些场力本质上是一种力，于是有着寻找磁单极子的百年尝试，可惜一直缺乏有力的实验证据。
然而，欧拉发现的欧拉公式，实际上相当于把以前毫不相干的几个数学分支彻底的统一了起来，他在数学领域，实现了类似于物理学家们一直追求的梦想。
PS：
不过我并不建议你们读这几本书，大师的学术作品需要很深的功底才能接受，包括我，作为一个普通爱好者，只能粗浅的从这几本书中感受一下大师风范罢了。
这里面唯一有可能被初学者深刻理解的，就是《几何原本》了。不过如果你们想看数学书，我倒是可以推荐很多有趣的书给你。
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2017-4-29 10:58 |
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发表于 2017-4-24 09:24
楼主