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- 2007-8-14
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【黄金分割与斐波那契数列】
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
我曾长期用112358作为游戏仓库的密码，或者什么东西的密码。
这个数列，就是大名鼎鼎的斐波那契数列。前两项都是1，之后每一项都等于前两项的和。
相邻两项之比，前一项比后一项，都是0.618的近似数。后一项与前一项的比值，等于1.618，恰好又是0.618的倒数。2/3,3/5,5/8,8/13,13/21… 无限趋近于黄金分割率。
斐波那契螺旋（黄金分割曲线）的画法，实际上非常简单，就是基于112358这个简单数列做的。
【黄金分割率的多种数学表述】
其实我个人非常喜欢最后两个算式。
体现了一种哲学思想：道生一，一生二，二生三，三生万物。
不过，如果就拿这些糊弄你们，怎么能体现出【自然数】的神奇呢？
【黄金分割，就在一个自然数里面！】
众所周知，黄金分割比，实际上一个无理数。
但这个无理数派生出来的菲波那切数列，竟然每一项都是自然数，而且蕴含着无数说不太清楚的自然秘密。
无理数和自然数，到底是什么关系？ 你也许想不到，这个黄金分割比，就存在于一个自然数中！
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,【89】,144,233，377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393……
差不多了。
我加粗了一个【89】，它又是一个质素，但这个质素，可来头不小。
1/89=0.011235 9550561797752808 9887640449438202247191
有点吓人是吧，没错，这个数字比起7,37这些，确实太吓人了了。以上那么长一串，我也没数多少位，就是它的一个循环节。
但是这个循环节虽然外表恐怖，不过异常亲切，你可以看前几位，是不就是和斐波那契数列是一样的？
（画外音：你这个也太牵强了吧。。5后面就是9，再往后乱七八糟，你这个说法无法让人信服。）
真的很牵强吗？ 人类使用的计数方式，是十进制的。 因此由于数值的限制，会出现进位现象。这导致一些真相被雪藏了，如果抛开禁止不管，你立刻会感到震惊的。
每一个加数，都是斐波那契数列中的一项
结果，就是1/89
这个神奇的无理数——黄金分割比，就这么的雪藏在了89这个自然数里面。
【后记：数论的魅力与意义】
我举了一些例子，很多都是你们百度找不来的。实际上这就是“数”的魅力。它是如此的神奇，以至于多少人一接触，就再也放不下了。
自然数里的秘密，真的是无穷无尽。而似乎，真理又总是存在于这些最朴素的数字里。 每一个数字的秘密，都能写一篇论文，甚至是一本书。
为什么所有大数学家，无一例外的都要研究数论？
不仅仅是因为它的神奇让人着迷，实际上，研究数论有着非常深刻的学术意义。
①你们现在学的范围最大的数，叫做复数。复数被定义为a+bi
你可以清楚的看到，复数本质上是有（a,b)这样一个有序实数对定义的。换言之，只要实数的性质研究清楚了，复数的性质自然就清楚了。
②实数，初中生都知道，由无理数和有理数组成。现代数学把实数定义为“对有理数的分割” 你们都知道有理数并不是连续的，它们中间存在大量的空隙，这些空隙被无理数占据着。
想象把所有的有理数看做一串点，按顺序排成队，它们并不是一个挨着一个，中间存在着空隙。用一把刀砍下去，如果砍到东西了，说明你砍到的是有理数；如果一刀砍空了，说明你砍到的是无理数。
现代数学就是这么定义实数的：实数，是对有理数的一种分割。
换言之，实数是由有理数定义的。只要有理数的性质清楚了，实数的性质自然就清楚了。
③有理数，被定义为两个整数的比值。
简而言之，只要整数的性质清楚了，有理数的性质就清楚了。
④整数包括正数，负数，0. 负整数完全由正整数定义，0和正整数统称自然数。
也就是说，如果自然数的性质研究清楚了，整数的性质就全清楚了！
我们倒过来看：
清楚了自然数，就清楚了整数；
清楚了整数，就清楚了有理数；
清楚了有理数，就清楚了实数；
清楚了实数，就清楚了复数。
你们现在知道，数论的地位了吗？
【人类，离数字的秘密，只有一步之遥】
自然数，还能不能继续划归呢？
0和1是非常特殊的两个自然数，在代数群论里，作为零元和幺元出现。 （当然0和1不一定就是0是0元，1是幺元，这取决于定义了什么样的运算，有兴趣的可以找一些群论的著作来读，我曾经给你们介绍过它的创始人：伽罗华）
剩下的自然数，可以被分为质数和合数。 只能被1和自己的整除的数，被称为质数。
合数，能不能由质数来定义呢？
数论基本定理告诉你们：任何一个合数，都可以分解为若干个质数的乘积，且只有一种分解方法。 小学生都会的“质因数分解”，实际上，如果能把一个数分解成质因数，这个数字的性质也就清楚了。
你比如我上次写的520,1314的问题。实际上全部秘密，都在于我研究了1314最关键的一个质因子73的循环节。
但是，这个定理是不能让人满意的。 因为一个大数，分解它的质因数实际上是困难的，而且，分解了研究起来也很不方便。 你比如100万个质数乘起来得到一个合数，就算你有能力分解它，那你得到100万个质因子，这怎么研究呢？
【数学皇冠上的明珠：哥德巴赫猜想】
欧拉是公认的，有史以来解决数学难题最多的数学家。欧拉在世的时候，全世界所有科学家都尊奉其为自己的老师。 当时世界学术界有一个传统，谁有不会的题，都会给欧拉写信，过几天，就会收到正确的答案。
欧拉也是有史以来公认的，心算能力最强的人。他心算的不是一般“小神童”的加减乘除，而是复杂的高等数学，与逻辑推理。
这是因为，欧拉晚年双目失明。 你想象一下如果你看不见，你连算三位数乘法都有困难，还怎么研究数学呢？ 某种意义上说，眼睛对数学家的重要程度，不低于耳朵对音乐家的重要程度。 然而，欧拉失明一直到他去世的17年间，他依然凭借无与伦比的记忆力与心酸能力坚持科研，发表大师级论文400多篇，回答世界各路人士提问不计其数。
很多人认为，如果欧拉眼睛没坏，那么哥德巴赫猜想，就留不到今天了。
1742年，哥德巴赫给欧拉写了一封信。他提出了一个猜想，大致意思（我表述的不严密，但是为了让你们理解内涵），所有整数都可以表示为3个质数的和。
【欧拉被难住了】
虽然欧拉当时只是一只眼睛失明，另一只眼睛勉强看得见。但是，他依然没有解决这个问题。
他给哥德巴赫回信说：这个猜想意义深远，非常的伟大，它很可能是正确的，但我一时找不到好的证明。 不过，我提出了它的一个等价命题：
任何一个大于2的偶数，都可以表示为2个质数之和。
我们现在提到的哥德巴赫猜想，都是欧拉的这种表述。
我必须在这里郑重强调：哥达巴赫猜想是一个意义深远，伟大而又严肃的命题。
这个命题和1+1=2没有半毛线关系。也不知道谁说的，哥德巴赫猜想就是证明1+1=2，这种说法以讹传讹，导致歌猜在中国尽人皆知。但竟然是这样一种荒谬的科普方式，不禁让人感到汗颜。
比如
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7
12=5+7
14=11+3
16=13+3
18=13+5
20=13+7
……
不用试了，自从有计算机以来，世界上运算速度最快的计算机，一直在用穷举法验证哥德巴赫猜想。可以这么说，迄今为止，人类能发现的大偶数，无一例外符合这个猜想。
哥德巴赫猜想看起来是那样的正确，可是，快300年过去了，谁也证明不了。
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发表于 2017-4-16 12:09
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