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- 2007-5-9
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简单而深奥的bocai问题
【原创】陈经 中文论坛西西河
http://www.cchere.net/article/527606
一。为什么久赌必输？
赌徒们用经验主义总结出了“久赌必输”这个道理，但能明白其中的数学原理的
人没有多少。
久赌必输，很多人以为根本原因是“庄家”用各种方法设置赌局甚至出老千，使
得赌局概率上偏向庄家不利于赌徒，长久下来，赌徒们就不行了。这是一种错误
的理解。
赌徒们输光，原因在于“久賭”。只要一次赌博赢的概率小于或者等于50%，赌徒
就必输光。概率小于50%长久会输光容易理解，但是等于50%也会输光么？这并不
很直观，也许不符合直觉，但可以有很简单的数学证明。
假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或输或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直
赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).
那么我们有：
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0. [cｃｈerｅ.net 西西河 陈经]
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
设T(1)的值为a, 那么显然0T(1) = a
T(2) = 2a - 1
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
...
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,
一直下去，T(n) = 1. 证毕。
这个证明过程并不是很容易想到（本人没看过参考资料，全是自己想的，但数
学理论界肯定早有这样的结果了），但绝不是特别难的东西。
这样，我们得到了一个有些违背直觉的结论：无论你有多少钱，你用50%的概率
赌下去，“久赌必输”。有些赌徒会一次押多些，不是一次1单位，但我们并不
难认同，这只会改变输的方式，只要是50%的概率，最后总是输光的。
二。赌场怎么靠50%的概率发大财的？
概率上明显对庄家有昨的赌局固然是庄家赢钱的一种方法，但并非赌场发财的根
本之计。对于赌场来说，最重要的一点，是保证赌局的概率不倾向赌徒，也就是
说50%的输赢概率是最好的赌局。如果赌局倾向赌徒，则庄家会输钱，这很容易
理解。所以庄家们用各种方法防止赌徒们搞出大于50%的胜率。庄家需要的，只
是50%，就可以稳赚不赔了，大的赌场甚至可以每年给政府交好几亿的税。
就如压大小，这是一种理论上胜率是50%的绝对公平的赌局。理论上，一个赌场
只要保证很多人来玩，而且开大开小真的是绝对随机事件，就可以天天稳定的赚
钱了。
这种理论猛一听上去很没道理。你庄家和赌客们用50%的概率赌了一年，既然是
50%，那你赢赌客们的钱和输给赌客们的钱总是差不多的，怎么可能多出上亿的
钱交给政府？所以，结论就是，庄家们胜的概率肯定大于50%。赌徒们没看出来
庄家其实占便宜了，还以为是50%。那押大小的管开牌的人肯定有什么花样，只
不过我们不知道。
上面这种说法就是典型的误解。实际上开大小这种赌法真的只是50%的概率，赌
场并没有搞什么花头。只不过赌场就靠这50%发了大财。
要搞清楚这个道理，就得靠上面所说的“久赌必输”原理了。我们还是搞个简单
的模型，假设有1万个赌客，每人资金100元，和庄家玩压大小，每次压1元，一直
玩下去。根据久赌必输原理，1万个赌客在或长或短时间里全部输光了，庄家手里
多了100万元。不信的话你去写个计算机程序模拟一下，就知道庄家的钱真的是越
来越多的。
怎么回事？赌场真的赚钱了，也好理解啊？前面的理解到底错在哪里？关键在于，
50%的概率的同时，还要看初始资金的多少。赌场的初始资金相当于无穷大，如果
和资金有限的赌客对赌，它最终全胜的概率是1。赌客输光了，他就没法玩了，只
好回去。赌场是不会让你无限欠钱赌下去的。
“久赌必输”原理有一个很有意思的推论：如果可以一直赌（负值也可以玩），资
金到达任何数值的概率都是1。但这个推论无法在赌场中运用，只有“久赌必输”
在赌场中天天发生。
所以赌场中发生的故事就是这样的：许多赌客带钱来了（可能有几千万，相对于
赌场仍然太少），赌了一段时间输光了，只好回去了。概率上如果他有资格欠钱
一直赌下去，他是可以等到扳本的时候再回去的。但是赌场不准赌客输光了继
续賭，所以输光了回去的人远多于成功扳本了再回去的人数。如果赌场允许人们
负资产也能赌，那么它就赚不到钱了。
三。我老婆是怎么靠“赌场原理”混麻将场的
我老婆没追求，日常娱乐活动就是看一帮同事朋友打麻将赌钱。有些人麻将打得
和鬼一样精，即使我老婆不笨，也无法在麻将打法上占到便宜，何况。。。
但是有一种赌法是，自己不打在旁边看着，随机的摸几张牌，分别代表正在玩的
四个人。然后一局完了，和那抽中的人一样的输赢。例如东家自摸胡牌了，南西
北三家各输他10块钱。而我老婆抽的四张牌两张代表东，另两张代表西北，那么
她就和两倍庄家一样收入30*2元，付出10*2元，她最后收入40元。如果她抽的四
个都是南西北，那么她就亏了40元。这种玩法叫“跑马”。
老婆抱怨输钱的感觉很不好，她们打得也不算小，一次输下来多了是会肉疼的。
我岳母的态度是不能玩了，坚决禁赌，为此还吵过架。但是我想了一阵子以后对
老婆说，继续玩，不准认输！每次给我带上足足的钱去，绝对不准输光了回来！
不过只准去“跑马”，随便你怎么抓，一局抓多少张都没关系。
从此老婆每次看别人打麻将赌钱都积极参与“跑马”，总是身上带很多钱去。从
此她取得了稳定的正收益。有几个收入不高的赌友都输得没饭吃了，老婆还很同
情地借钱给他们。
老婆在麻将场上相当于当了个赌场庄家。她随机抽取牌，抽中胡牌的人就赢，抽
中其它人就输，这个是绝对的50%概率。就算打牌的四个人技术有高低区别，我仔
细分析，她的概率还真的不受影响，就是50%。我再让她带足够的钱去，这样就相
当于她是当庄和打牌的人50%地对赌。经常是一些牌友钱不够或者输怕了就此认赔
回家，但我老婆有了准备带的钱足以超过一次的输赢额度（因为玩的不很大）。
如果我们明白了上面的“久赌必输”与“赌场必胜”原理，就知道我老婆长久赌
下来是稳赚的。
这样搞了很长时间，老婆真的通过混麻将桌赚到了钱。不过她自己不知道怎么回
事。我也不会试图去向她解释清楚。
四。張作霖的數學直覺
張作霖有一次給了一個部下一筆款子，讓他去采買
物資。但是這個部下走到賭場就進去了，輸光了出
來了。
部下賠不起沒辦法了，只好回來對張作霖實話實說
了。張作霖怒罵他沒出息，但也不懲罰他，而是給
他一筆巨款，讓他去賭場把損失扳回來！結果真的
扳了本回來了，事情得到了完美解決。老張還贏得
了仗義大氣的名聲。
這件事情上，老張的數學直覺也是很不錯的。用我
們講到的“久賭必輸”原理的推論，一個數n每次加
1或者減1，一直不停，那麼理論上達到任何數的概
率都是1。也就是說，老張可能直覺意識到了只要繼
續賭下去是達到“扳本值”這個數的。即第一次輸了
m元，第二次帶n元去，目標是n+m元，如果n夠大，這
個目標實現的概率就是1。老張能夠搞出的n是很大的
，即使第二次不行，再投錢下去肯定也是可以的。
當然，這也是以老張的實力作後盾的。賭場錢再多
不可能比東北奉軍更多。賭場如果是靠出老千以多
於50%的概率贏錢的，老張去把賭場抄了就有足夠的
理由。所以，老張這麼干是很有成算的，而且以數
學為基礎，道義上也不虧。不然直接去賭場把錢搶
回來，雖然避免了損失，卻失了人心。
五。压单还是压双？
如果是随机地扔一个骰子，相信所有的人都会同意，出现单与双的概率是一样
的。但实际的赌博业务往往赌的是足球比赛的进球数是单还是双，或者篮球比
赛的比分和是单还是双。
例如香港赛马会每周都对很多足球比赛开出单双的赔率，一般是（1.9，1.8）
或者（1.85，1.85）这两种赔率组合，从来不会出现（1.85，1.9）这种赔率
组合。这个赔率的意思是你押100元1.9赔率中了就收获190元。我们很容易知
道赛马会给出这种赔率组合是稳赚的，公平的赔率组合是（2，2）。但为什么
马会给“单”设的赔率总是大于或者等于“双”的赔率？一种可能是赛马会的
人就喜欢这么干，没什么特别的考虑。但是不是有什么数学因素在里面？
再例如中国篮球彩票，让人猜四节比赛的比分和的单双，共16总可能，四节全
中了，就赢了。那么，是不是16种选择是等概率的？会不会和扔骰子有微小的
不同？这里不考虑打假球的因素。
我们先来考虑足球。足球比赛一开始的比分就是0比0，天然是个双数。足球比
赛进球不象篮球那么容易，会不会双数比单数有一点优势？这我们要建立模型
分析一下了。
假设A队和B队打，两队都以防守稳著称，象切尔西连续6场没丢球，AC米兰也
曾经连续多场没丢球。那么这种情况下，0:0这个比分是会不会占优势？例如
切尔西对阵AC米兰，打一百场，多方的进球总数可能是各40个。如果我们准备
100个框子，把80个球往里面随机地扔，可以一个框子占多球，那么每场比赛
的单双概率会是如何？当然这未必与实际比赛的进球分布相同，只是先这么
看看结果如何。
也就是说，来一个简单数学模型，有m场比赛，总进球数是n个，每个进球等概
率地发生在这m场比赛中的任一场。求单场比赛总进球数是单双的概率大小，
分别记为D(m,n)与S(m,n)。
我们可以确信的是，如果n=0，那么D(m,0)=0，S(m,0)=1，每场比赛都是双。
如果n=1，那么只有一场比赛为单，m-1场为双，D(m,1)=1/m。如果n=2，计算
就要复杂些了，如果是两场1:0，则单的概率为2/m，如果是一场1:1，则单的
概率为0。两个进球出现在一场比赛的机会是1/m。所以，单的概率是：
2/m * (m-1)/m = 2(m-1)/m^2。
建立一个递推公式：(m,n+1)的情况相当于(m,n)的情况再多来一个球。
(m,n)的情况中，D(m,n)*m场是单数，S(m,n)*m场是双数。这个球来到单数场
的机会是D(m,n)。到了单数场中，则单数场加一双数场减一，即单数场变为
D(m,n)*m - 1。另一种情况是以(1-D(m,n))的机会到了双数场，则单数场变
为D(m,n)*m+1。我们可以据此得到：
D(m,n+1) = D(m,n) * ( D(m,n) * m - 1 ) / m + (1 - D(m,n)) * ( D(m,n) * m + 1)/m
= (1 - 2 * d(m,n))/m + d(m,n)
验算n=0与1的情况都是正确的。
那么我们可以考察D(m,n)随着n的变化情况。让我们重新整理一下：
D(m,0) = 0,
D(m,n+1) = ( 1 - 2 * d(m,n) ) / m + d(m,n)
这种情况想快速得到一些值不要去死推公式，拿个Excel整几个格子很快就出
结果了。
下表是m(10,n)的情况，n从0增长到25.
n m(10, n)
0 0
1 0.1
2 0.18
3 0.244
4 0.2952
5 0.33616
6 0.368928
7 0.3951424
8 0.41611392
9 0.432891136
10 0.446312909
11 0.457050327
12 0.465640262
13 0.472512209
14 0.478009767
15 0.482407814
16 0.485926251
17 0.488741001
18 0.490992801
19 0.492794241
20 0.494235392
21 0.495388314
22 0.496310651
23 0.497048521
24 0.497638817
25 0.498111053
我们可以确信，m(10,n)是无限逼近0.5的，但总是小于0.5。
我们不难看到，单数的确是不如双数机会大的。即使进球数
多到篮球，也是双数占优。所以篮球彩票该填全双。 |
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发表于 2007-6-30 17:10
