《周髀算经》

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《周髀算经》

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《周髀算经》

【周】姬旦（周公原著）

1《周髀算经》卷上

昔者周公问于商高曰：「窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度。请问数（从安）〔安从〕出？」

商高曰：「数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。」

《勾股圆方图》（图略）

  周公曰：「大哉言数！请问用矩之道？」

  商高曰：「平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。笠以写天。天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于勾，勾出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。」周公曰：「善哉！」

  昔者荣方问于陈子，曰：「今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤，夫子之道皆能知之。其信有之乎？」陈子曰：「然。」荣方曰：「方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者可教此道邪？」陈子曰：「然。此皆算术之所及。子之于算，足以知此矣。若诚累思之。」

  于是荣方归而思之，数日不能得。复见陈子曰：「方思之不能得，敢请问之。」陈子曰：「思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类。是智有所不及，而神有所穷。夫道术，言约而用博者，智类之明。问一类而〔以〕万事达者，谓之知道。今子所学，算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知。故同术相学，同事相观。此列士之愚智，贤不肖之所分。是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。是故算不能精习，吾岂以道隐子哉？固复熟思之。」

  荣方复归，思之，数日不能得。复见陈子曰：「方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所穷，知不能得。愿终请说之。」陈子曰：「复坐，吾语汝。」于是荣方复坐而请。

陈子说之曰：「夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿（测）影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸。正北千里，勾一尺七寸。日益（表）南，晷（日）益长。候勾六尺，即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空（之孔）。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以勾为首，以髀为股。从髀至日下六万里，而髀无影。从此以上至日，则八万里。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所（旁）〔?〕至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰，日（晷）径千二百五十里。」

        《日高图》

        （图略）

        法曰：「周髀长八尺，勾之损益寸千里。故曰：极者，天广袤也。今立表高八尺以望极，其勾一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下。」荣方曰：「周髀者何？」

        陈子曰：「古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从〔极〕南至夏至之日中十一万九千里。北至其夜半亦然。凡径二十三万八千里。此夏至日道之径也，其周七十一万四千里。从夏至之日中，至冬至之日中十一万九千里。北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里。从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里。此冬至日道径也，其周百四十二万八千里。从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。故曰：月之道常缘宿，日道亦与宿正。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。

        「春分之日夜分以至秋分之日夜分，极下常有日光。秋分之日夜分以至春分之日夜分，极下常无日光。故春秋分之日夜分之时，日所照适至极，阴阳之分等也。冬至、夏至者，日道发歛之所（生也）至，昼夜长短之所极。春秋分者，阴阳之修，昼夜之象。昼者阳，夜者阴。春分以至秋分，昼之象。秋分〔以〕至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北〔至〕极下，夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。故曰：日照四旁各十六万七千里。

        「人望所见，远近宜如日光所照。从周所望见北过极六万四千里，南过冬至之日〔中〕三万二千里。夏至之日中，光南过冬至之日中（光）四万八千里，南过人所望见一万六千里，北过周十五万一千里，北过极四万八千里。冬至之夜半日光南不至人〔目〕所见七千里，不至极下七万一千里。夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相接。冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里。夏至之日正东西望，直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。冬至之日正东西方不见日。以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。凡此数者，日道之发歛。冬至、夏至，观律之数，听钟之音。冬至昼，夏至夜。差数〔所〕及，日光所（还）〔?〕观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。

        「从周（至南）〔南至〕日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，东西各三十九万一千六百八十三里半。周在天中南十万三千里，故东西（矩）〔短〕中径二万六千六百三十二里有奇。周北五十万八千里。冬至日十三万五千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇。」

        此方圆之法。

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万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉，或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者谓之圆方，圆中为方者谓之方圆也。

        《七衡图》

        （图略）

        凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里。凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分，分为二千里。

        吕氏曰：「凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。」

        凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当六月节。六月为百八十二日、八分日之五。故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。衡复更终冬至。故曰：一岁三百六十五日、四分日之一，一岁一内极，一外极。三十日、十六分日之七，月一外极，一内极。是故〔一〕衡之间万九千八百三十三里、三分里之一，即为百步。欲知次衡径，倍而增内衡之径。二之以增内衡径，〔得三衡径〕。次衡放此。

        内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里。分为三百六十五度、四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三。

        次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，周八十三万三千里。分里为度，度得二千二百八十里百八十八步、千四百六十一分步之千三百三十二。

        次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步，周九十五万二千里。分为度，度得二千六百六里百三十步、千四百六十一分步之二百七十。

        次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里。分为度，度得二千九百三十二里七十一步、千四百一十分步之六百六十九。

        次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步，周一百一十九万里。分为度，度得三千二百五十八里十二步、千四百六十一分步之千六十八。

        次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，周一百三十万九千里。分为度，度得三千五百八十三里二百五十四步、千四百六十一分步之六。

        次七衡径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。分为度，得三千九百九里一百九十五步、千四百六十一分步之四百五。

        其次，日冬至所（北）照，过北衡十六万七千里。为径八十一万里，周二百四十三万里。分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知。此言上圣不学而知之。故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷长，夏至日晷短。日晷损益，寸差千里。故冬至、夏至之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。

        其南北游，日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八。

        术曰：置十一万九千里为实，以半岁一百八十二日、八分日之五为法，而通之，得九十五万二千，为实。所得一千四百六十一为法，除之。实如法得一里。不满法者，三之，如法得百步。不满法者，十之，如法得十步。不满法者，十之，如法得一步。不满法者，以法命之。



2《周髀算经》卷下

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2《周髀算经》卷下



       凡日月运行，四极之道。极下者，其地高人所居六万里，滂沱四隤而下。天之中央，亦高四旁六万里。故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里。故日运行处极北，北方日中，南方夜半。日在极东，东方日中，西方夜半。日在极南，南方日中，北方夜半。日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极四和，昼夜易处，加（四）时相（及）〔反〕。然其阴阳所终，冬至所极，皆若一也。

        天象盖笠，地法覆槃。天离地八万里，冬至之日虽在外衡，常出极下地上二万里。故日兆月，月光乃出，故成明月。星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至，三光之精微，以（成）其道远。此天地阴阳之性自然也。

        欲知北极枢，璇（周）〔玑〕四极。常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极。此北极璇玑四游。正北极璇玑之中，正北天之中。正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，希望北极中大星，引绳致地而识之。又到旦，明日加卯之时，复引绳希望之，首及绳致地而识其端，相去二尺三寸。故东西极二万三千里，其两端相去正东西。中折之以指表，正南北。加此时者，皆以漏揆度之。此东、西、南、北之时。其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中去周十万三千里。何以知其南北极之时〔也〕？以冬至夜半北游所极（也）北过天中万一千五百里，以夏至南游所极不及天中万一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之，北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十二万四千五百里，过天中万一千五百里；其南极至地所识九尺一寸半，故去周九万一千五百里，（其南）不及天中万一千五百里。此璇玑四极南北过不及之法，东、西、南、北之正勾。

        （周去极十万三千里）。（日去人十六万七千里）。（夏至去周一万六千里）。（夏至日道径二十三万八千里），（周七十一万四千里）。（春、秋分日道径三十五万七千里），（周一百七万一千里）。（冬至日道径四十七万六千里），（周一百四十二万八千里）。（日光四极八十一万里），（周二百四十三万里）。（从周南三十万二千里）。

        璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰，故不生万物。其术曰，立正勾定之。以日始出，立表而识其晷。日入，复识其晷。晷之两端相直者，正东西也。中折之指表者，正南北也。极下不生万物。何以知之？冬至之日去夏至十一万九千里，万物尽死；夏至之日去北极十一万九千里，是以知极下不生万物。北极左右，夏有不释之冰。

        春分、秋分，日在中衡。春分以往日益北，五万九千五百里而夏至。秋分以往日益南，五万九千五百里而冬至。中衡去周七万五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏长之类。

        此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。

        凡北极之左右，物有朝生暮获，〔冬生之类〕。

        立二十八宿，以周天历度之法。

        术曰：倍正南方，以正勾定之。即平地径二十一步，周六十三步。令其平矩以水正，则位径一百二十一尺七寸五分。因而三之，为三百六十五尺、四分尺之一，以应周天三百六十五度、四分度之一。审定分之，无令有纤微。分度以定，则正督经纬。而四分之一，合各九十一度十六分度之五。于是圆定而正。则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中。则复望须女之星先至者。如复以表绳希望须女先至，定中。即以一游仪希望牵牛中央星，出中正表西几何度。各如游仪所至之尺，为度数。游在于八尺之上，故知牵牛八度。其次星放此，以尽二十八宿度，则（之）〔定〕矣。

        立周度者，各以其所先至游仪度上。车辐引绳，就中央之正以为毂，则正矣。日所（以）〔出〕入，亦以周定之。欲知日之出入，即以三百六十五度、四分度之一而各置二十八宿。以东井夜半中，牵牛之初临子之中。东井出中正表西三十度十六分度之七，而临未之中，牵牛初亦当临丑之中，于是天与地?，乃以置周二十八宿。置以定，乃复置周度之中央立正表。以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一游仪于度上，以望中央表之晷。晷参正，则日所出之宿度。日入放此。

        牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一步、千四百六十一分步之八百一十九。

        术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里。其不除者二十二万六千五百里以为实。以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三以为法。实如法得一度。不满法，求里、步。约之合三百得一以为实。以千四百六十一分为法，得一里。不满法者三之，如法得百步。不满法者又上十之，如法得一步。不满法者，以法命之。次放此。

        娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步、千四百六十一分步之千二百九十六。

        术曰：置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实。以内衡一度数为法。实如法得一度。不满法者，求里、步。不满法者，以法命之。

        东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步、千四百六十一分步之千二百四十五。

        术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，得十三万五百里以为实。

        以内衡一度数为法。实如法得一度。不满法者求里、步。不满〔法〕者，以法命之。

        凡八节二十四气，气损益九寸九分、六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何？

        冬至晷长一丈三尺五寸，小寒丈二尺五寸，大寒丈一尺五寸一分，立春丈五寸二分，雨水九尺五寸（二）〔三〕分，启蛰八尺五寸四分，春分七尺五寸五分，清明六尺五寸五分，谷雨五尺五寸六分，立夏四尺五寸七分，小满三尺五寸八分，芒种二尺五寸九分，夏至一尺六寸，小暑二尺五寸九分，大暑二尺五寸八分，立秋四尺五寸七分，处暑五尺五寸六分，白露六尺五寸五分，秋分七尺五寸五分，寒露八尺五寸四分，霜降九尺五寸三分，立冬丈五寸二分，小雪丈一尺五寸一分，大雪丈二尺五寸。

        凡为八节二十四气，气损益九寸九分、六分分之一。冬至、夏至为损益之始。

        术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，余为实。以十二为法。实如法得一寸。不满法者，十之，以法除之，得一分。不满法者，以法命之。月后天十三度、十九分度之七。

        术曰：置章月二百三十五，以章岁十九除之，加日行一度，得十三度、十（分九）〔九分〕度之七。此月一日行之数，即后天之度及分。

        小岁月不及故舍三百五十四度、万七千八百六十分度之六千六百一十二。

        术曰：置小岁三百五十四日、九百四十分日之三百四十八，以月后天十三度、十九分度之七乘之，为实。又以度分母乘日分母为法。实如法，得积后天四千七百三十七度、万七千八百六十分度之六千六百一十三。以周天三百六十五度、万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。其不足除者，〔三百五十四度、万七千八百六十分度之六千六百一十二〕。此月不及故舍之分度数。他皆放此。

        大岁月不及故舍十八度、万七千八百六十分度之万一千六百二十八。

        术曰：置大岁三百八十三日、九百四十分日之八百四十七。以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天五千一百三十二度、万七千八百六十分度之二千六百九十八。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。

        经岁月不及故舍百三十四度、万七千八百六十分度之万一百里。

        术曰：置经岁三百六十五日、九百四十分日之二百三十五，以月后天十三度十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法，得积后天四千八百八十二度、万七千八百六十分度之万四千五百七十。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。

        小月不及故舍二十二度、万七千八百六十分度之七千七百三十五。

        术曰：置小月二十九日，以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天三百八十七度、万七千八百六十分度之万二千二百二十。以周天分除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。大月不及故舍三十五度、万七千八百六十分度之万四千三百三十五。

        术曰：置大月三十日，以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天四百一度、万七千八百六十分度之九百四十。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。

        经月不及故舍二十九度、万七千八百六十分度之九千四百八十一。

        术曰：置经月二十九日、九百四十分日之四百九十九，以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天三百九十四度、万七千八百六十分度之万三千九百四十六。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。

        冬至昼极短，日出辰而入申。阳照三，不覆九。东西相当正南方。夏至昼极长，日出寅而入戌。阳照九，不覆三。东西相当正北方。

        日出左而入右，南北行。

        故冬至从坎，阳在子，日出巽而入坤，见日光少，故曰寒。夏至从离，阴在午，日出艮而入干，见日光多，故曰暑。日月失度而寒暑相奸。往者诎，来者信也，故屈信相感。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者往，右者来。故月与日合为一月，日复日为一日，日复星为一岁。外衡冬至，内衡夏至，六气复返，皆谓中气。

        阴阳之数，日月之法。十九岁为一章。四章为一蔀，七十六岁。二十蔀为一遂，遂千五百二十岁。三遂为一首，首四千五百六十岁。七首为一极，极三万一千九百二十岁。生数皆终，万物复始。天以更元，作纪历。

        何以知天三百六十五度、四分度之一，而日行一度？而月后天十三度、十九分度之七。二十九日、九百四十分日之四百九十九为一月，十二月、十九分月之七为一岁。周天除之。其不足除者，如合朔。古者包牺、神农制作为历，度元之始，见三光未（如）〔知〕其则。日、月、列星，未有分度。日主昼，月主夜，昼夜为一日。日月俱起建星。月度疾，日度迟。日、月相逐于二十九日、三十日间，而日行天二十九度余，未有定分。于是三百六十五日南极影长，明日反短。以岁终日影（反）长，故知（之）三百六十五日者三，三百六十六日者一。故知一岁三百六十五日、四分日之一，岁终也。月积后天十三周，又与百三十四度余，无虑后天十三度、十九分度之七，未有定。于是日行天七十六周，月行天千一十六周，（及）〔又〕合于建星。置月行后天之数，以日后天之数除之，得一十三度、十九分度之七，则月一日行天之度。复置七十六岁之积月，以七十六岁除之，得十二月、十九分月之七，则一岁之月。

        置周天度数，以十二月、十九分月之七除之，得二十九日、九百四十分日之四百九十九，则一月日之数。

明江

谢谢分享

yuanfen2015

春天的天空

译成白话文就好了。

罫像时空

春天的天空 发表于 2018-8-12 14:01
译成白话文就好了。

淘宝有 ，江晓原 白话版。。。

gxblgu

这个有啥用？

谢感共

本人研究近四十年，敢说没有读懂之人。

rfm2133

罫像时空 发表于 2018-8-12 14:30
淘宝有 ，江晓原 白话版。。。

江晓原那也叫白话文翻译?商高那段话给了证明勾股定理的方法,江大教授居然看不明白.只能泛泛而谈,商高给出的是勾三股中弦五的特例.倒是国内某大学曲安京和对岸几位年轻学者看出来了.现在美国数学协会都承认了.


故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。关键词:环而共盘，

rfm2133

谢感共 发表于 2018-10-22 23:20
本人研究近四十年，敢说没有读懂之人。

愿闻其详

罫像时空

看看就好

谢感共

rfm2133 发表于 2018-10-23 01:24
愿闻其详

    只能说当年某大学天文学教授（校长）在一次接受国际某会议代表座谈会时，我问：“您从现代天文学转而研究古天文学，向您请教的问题是：古人仰观天文的方法，在没有天文望远用镜的情况下，难道是肉眼来进行的吗？”
    霎时，整个会场鸦无雀声。……至少5分钟后，某教授一拍大腿，约我晚上与其会见。

JCMIAO

谢感共 发表于 2018-10-23 21:58
只能说当年某大学天文学教授（校长）在一次接受国际某会议代表座谈会时，我问：“您从现代天文学转而 ...

那个某大学天文学教授（校长）是个女的吧？

rfm2133

谢感共 发表于 2018-10-23 21:58
只能说当年某大学天文学教授（校长）在一次接受国际某会议代表座谈会时，我问：“您从现代天文学转而 ...

厉害！古人有三只眼，开个玩笑。我也不知道古人如何测的。立竿测影算不算？斗柄东指天下皆春算不算？

楼观天下

谢感共 发表于 2018-10-23 21:58
只能说当年某大学天文学教授（校长）在一次接受国际某会议代表座谈会时，我问：“您从现代天文学转而 ...

请先生继续！！