巴菲特的悖论：从掷硬币游戏到量化投资

钓金尘子

巴菲特的悖论：从掷硬币游戏到量化投资

来自：MACD论坛(bbs.shudaoyoufang.com) 作者：钓金尘子 浏览：3797 回复：1

巴菲特说过：‘Wide diversification is only required if the investors do not understand what they are doing.'翻译成中文就是说：投资者需要进行分散投资是因为他们不懂得他们的每一笔投资。是这样吗？让我们用一个简单的掷硬币游戏来回答这个问题:

1. 掷硬币的游戏
假设我们有一个不均匀的硬币（biased），在多次投掷中，它有51%的概率会出现正面，49%会出现反面。假设我们可以选择我们的赌注（bet），在下一次投掷中，若出现正面，我们盈利相应的bet，反面我们输掉所有的bet。那么，现在有两种策略：
A：投掷一次，赌注1000；
B：投掷1000次，每次赌注1；
你会选A还是B？哈哈，或许巴菲特会选A吧。现在我们来做一个统计的分析，计算下这两种策略的风险收益比（Reward/Risk Ratio):

1.1 期望收益：
A： 0.51 * 1000 - 0.49 * 1000 = 20；
B： 1000 （1 * 0.51 - 1 * 0.49） = 20
可见，两种策略有相同的期望收益。

1.2 风险评估（Standard Deviation)
A:  stdev(1000,0,0,0 ...0) = 31.6 ；
B： stdev（1，-1,1,1，-1, ... 1) = 1
可见，A策略的标准差远大于A。

1.3 夏普比例（Sharpe Ratio, SR）
A： SR = 20/31.62 = 0.63；
B:  SR = 20/1 = 20
可见，B策略的收益风险比远高于A策略。

1.4 Ruin Probability：
A： 输掉全部资本的概率 = 0.49
B： 输掉全部资本的概率 = 0.49 * 0.49 ... * 0.49  = 0.49 ^ 1000.

可见，在这个案例中，比起单笔投资，分散投资可以带来超过20倍的赢利风险比。

2. 从掷硬币游戏到量化投资
总的来说，我们可以获得这个公式：
SR（multiple bets) = SR(single bets) * SQRT(number of bets)
                   = C * alpha * SQRT(number of bets)

其实这里的硬币投掷就好比是一次交易。我们交易的目的就是尽可能提高收益，且降低风险, 也就是最大化SR。硬币出现正面的概率就是我们的alpha，而出现背面的概率就是我们的beta。由于我们拥有2%的概率优势，我们的投资有着正的期望收益，这就好比一个正期望收益的交易系统。alpha越大，我们系统胜率越高；交易次数越大，beta的边际效应越小。然而，要提高交易次数，往往会降低系统的精度和胜率，从而降低alpha。

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