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发表于 2013-5-27 11:37
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愿赌服输,所以大多数赌博的结果基本上是不受自己控制的。但最优化赌博成功的概率还是可以做到的。
我们现在讨论一个非常简单的游戏,假设有数量为 n 的本钱,赌博规则为每次可以压任意多的钱,赌博结果为以 p 的概率赢回同样多的钱(输了的话压出去的钱就没了)。如果赌博的目标是本钱增长到 N 或者破产(输光所有的钱为止)。问什么样的方式可以最大化成功(赢到 N 走人)的概率呢?
假设最大成功概率为 f(n,p) ,那么有
f(n,p)=max0<x?min{n,N−n}(pf(n+x,p)+(1−p)f(n−x,p)),?0?n?N
并且满足边界条件
f(0,p)=0,f(N,p)=1
显然对于 p 的不同大小有三种可能性:
p=12 :这时候没什么取巧的可能性,随便压(但不要超过 N−n ), f(x,p)=x/N ,成功概率与本钱成正比。
p>12 :这种情况比较有趣。如果钱可以无限细分的话,成功的概率是可以趋近1的。但现实中并不是这样,另外还得考虑赌博的时间成本对不。这时候根据凯利判据,每次压上 (2p−1)n 是一个比较快捷胜率又高的方法。此时,本钱减少时,概率下降地相对较慢。
p<12 :这种情况才是赌场里的大多数的情况(庄家赢的概率肯定要大一些嘛,否则赌场怎么赚钱呢)。但注意与大多数想象的不同,在这时稳打稳扎是慢性自杀,孤注一掷才是最优策略。这也符合历史经验,历史上一些搞阴谋成功的哪个不是亡命徒?最后成功的概率约为 (nN)log1/p ,本钱少时,概率下降得更快。
所以高手赌钱,应该是这样的,先计算每次游戏的可能的胜率 p ,当 p>12 时,压上 2p−1 比例的本钱。
来源:discussion with Yaoyun & Shengyu and 《The Mathematics of Gambling》。
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