作者 fengyang2 日期 2011 / 02 / 01
参考
一些文章改写部分内容
游戏----机率
丢铜板游戏。假设 一个正面一个反面的重复周期。赢时赢2倍赌注，输时赔1倍赌注。期初资金 1000进行12次操作可得下表。投入25%得到最佳收益，最佳化的投注比例，明显在图一中看出。
(图一)
数学----最佳化推导
最佳下注比例是否可以从数学倒出呢？假设 一个正面一个反面的周期。
一正一反的组合后，赌注变成：
S1 = (1 + r*b) * (1 - b) * S0
S1– 一个周期后的赌注
b – 下注比例
r – 报酬，例如2:1、3:1等
S0 – 一个周期前的赌注
(1 + r*b) - 赢时的变化
(1 - b) – 输时的变化
所以，一个周期后的变化就是：
f = S1 / S0
f = (1 + r*b) * (1 - b)
f = 1 - b + r*b – r*b^2
f = 1 + (r-1)b – r*b^2
令斜率爲零，即可求得最大值。
斜率
df/db =
(r-1) – r*2b = 0
b = (r-1)/2r , 设
r = 2,
b = (2 - 1)/(2 * 2) = 0.25
最佳化的下注比例就是资金的25 %。
复杂推演
假设在一个游戏中，初始资金是S0，每次投注的比例是b，赢的概率是p，相对b获利比例爲ra；输的概率是q，相对b的亏损比例爲rb，进行了n次游戏后的期末资金Sn是:
Sn = S0
* (1+ra*b)^(n*p) * (1-rb*b)^(n*q)
S0 期初资金
Sn第n次交易后的期末资金
100次 赢60次 输 40次
Sn = S0
* (1+ra*b)^(100*0.6) * (1-rb*b)^(100*0.4)
Sn = S0
* (1+ra*b)^(60) * (1-rb*b)^(40)
Sn = S0
* (1+ra*b)^(n*p) * (1-rb*b)^(n*q)
则平均资金盈亏率是:
F = (1+ra*b)^p * (1-rb*b)^q
爲使F最大化,令dF/db=0,解得:
k = (ra*p-rb*q)/(ra*rb)
r=ra/rb
若 rb=1 则
ra=r
r 盈亏比，报酬比
w 胜率比
p=w
p+q=1
q=1-w
(ra*p- rb*q )/ (ra*rb)
=( p –(rb/ra) * q)
= (p- q/r)
= w – (1 – w) /r
--------- kelly formula
k= w - (1-w) / r
若 r= 1
k= 2w-1
J. L. Kelly在1965年的论文，A New Interpretation of Information Rate中，讨论使用电话线路来传送资料。论文中的部份，Kelly Formula，也适用于交易中，可以求最佳下注的比例。
Kelly Formula----最佳下注比例
k= w - ( 1 – w ) / r
若 w=
0.5
r=
2
k=
0.5 - 0.5/2
=
0.25
最佳化的下注比例就是资金的25%。
程式模拟最佳化
条件 利用乱数 模拟100次的操作 。
胜利比 相等于 输入的胜利比值。
盈亏比 相等于 输入的盈亏比值。
求得 最佳化的赌注比例。
Kelly Formula----最佳下注比例
k= w - ( 1 – w ) / r
(图二)
从高点回落到低点的百分比
期初资金 1000，胜利比 50%，盈亏比 2，最佳投注比例 25%，进行100次操作可得，收益成长 361倍的期初资金，这样的倍数高到惊人。换一个范例，目的，不要那么高的惊人倍数，期初资金依然 1000，胜利比 40% 下降个10%，盈亏比不变还是2，最佳投注比例 10%，进行100次操作可得，收益成长 2.64倍的期初资金。
那么好的收益，那从高点回落到低点的百分比如何呢(drawdown)？
(图三)
从图三 右侧表列中，可看到回落百分之五十频率频繁。理由简单 胜利比40%，100次操作，赢40次输60次 ，可能连输 3次、5次、7次、 9次 的机率，机率可能并不是非常低的。那么高的回落，也使得再真实操作不可能依照凯利最佳比例投注，太高的回落易导致破产。
那到底要投入多少， 回落百分比，才不致太深。
这讨论 ，请看下面所说。
多少的赌注比例会比较好呢？
赌注比例 25% ，连输4次破产。赌注比例 10%，连输10次 破产。我门可以推理 ，投注比例高 回档一定深； 投注比例低 回档浅。
范例 胜利比 40%，盈亏比 2，资金 1000，凯利最佳比例 10%。
一 PASS 操作 100次。统计 100 个 PASS，求得 平均回档深度 与 次数。
关注在 1到 10%之间的回档深度与出现的机会。
表一中
累积资金大 ，回档幅度大 频度也增加。
累积资金小 ，回档幅度小 频度也减少。
如果限制 回档幅度 在10%，赌注比例 最好 1%以下。
如果限制 回档幅度 在20%，赌注比例 最好 3%以下。
(表一 程式中 再100次的操作，要求满足胜率比与盈亏比不变)
操作100pass
| 每一pass 操作100次
| 赌注比例%
| 累积资金
| 回档平均幅度%
| 平均一pass出现机会(次数)
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
--------
(图四)
结论
1...凯利公式 b=w-(1-w)/r ，简化 R=1时 B=2W-1， W>50% 投注比例大于0可以赌， 长久操作能获利。
W<=50% 投注比例小于0，不可以赌，长久操作就会亏损。
凯利公式 跟 期望值 关系为何呢？
总盈亏 = 赢的笔数 * 平均赢的金额 - 输的笔数 * 平均输的金额
= 总操作笔数 * 赢的平均金额 ( w - (1-w) / r ) ----------------- (A)
期望值 = ( w - (1-w) / r ) ----------------------------------------------- (B)
A式 总盈亏要大于0 的条件， 是 ( w - (1-w) / r ) 要大于0，也就是说要有正期望值。 当期望值小零，盈亏为负，也就是说操作是负期望值的。
B式 跟 凯利公式 相等。
有正期望值 可以下赌注。负期望值赌注比例为0。
2..就算有正期望值 ，不适当的投注比例， 终将导致亏损。
3..凯利公式 ，说明最佳投注比例， 资金增长最快。但真正操作环境远比固定赌注比例的21点仆克赢系复杂。 真正操作 如期货股市 等等，其操作投注比例 远小于凯利比例。
资金增长快些，易导致回档幅度加深、频度加多。
资金增长慢些，效果是回档幅度变浅、频度变少。
程式 与 文件
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发表于 2011-2-12 10:42
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