读书：《机会的数学原理》

俯瞰地狱

万分谢谢！！！
:*19*:

chenyoung

b:b 安净

安净

272赌徒的运气与酒鬼回家问题:
如图,酒鬼从酒馆出来，跌跌撞撞地在街上走。如果走到街左端，则掉进水沟；如果走到街右端，则到家。每一步他随机向左或向右，并且与上一步无关。

可以将问题具体一点以便学习：酒馆距水沟50步，距家150步。

有结论：
1）掉进水沟的概率和安全到家的概率分别为3/4和1/4，概率与距离成反比。
2）平均他将在街上走50*150步。在一般情况下，他在街上走的步数等于两个距离（用步数或单位波动率的倍数b:b 来表示）的积。

注：股市里的问题显然要复杂得多，如果整个市场是随机的，自然有这种结论，然而局部而言市场却是有趋势的，问题就变得复杂了。这个问题值得进一步探讨，关于股市的随机性曾有一种叫做随机漫步的理论，现在不容易看得到，估计源头在这个概率论问题中。

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-2 10:00 编辑 ]

安净

272酒鬼回家问题的结论可以帮助我们分析赌徒在轮盘赌中的运气。

假定轮盘赌对赌徒是公平的，即赌徒每次的本益比为1：1，则问题即完全转化为酒鬼回家问题。

酒馆位置相当于你最初的赌本，水沟位置相当于你输光所有赌本，家的位置相当于你进入赌场时的目标。每一轮你胜负的概率都是1/2，酒鬼平均步长相当平每一轮平均赌注，酒鬼一共走了多少步相当于你在赌场**下注多少轮。

你的预期目标越高，则你完成目标的机会越小，也就是你成功的概率递减，而且其限值为0。换句话说，你如不预先给自己规定一个退出赌场的成功条件，你将不可避免地在赌场中输光。

如果你把平均赌注增加一倍，则相当于步长增加一倍，则步数减少了一半，结果就变成参赌平均轮数降低为1/4。

安净

311通过赌马赚钱需要两个前提:丰富的知识(精确地判断各种局面对自已的有利程度)和坚强的意志(控制自己冷静地下注)，即使你已经具备了这两个条件，你我还需要解决一个问题：如果你已确知赌某匹马对你有利，你应当投入多少赌注？

如果你在这个赌博入自己的全部资金，以获得最大回报。但从长远看，这种策略一定失败，因为只要一次不利的局面出现就会使你血本无归，而不论这种概率多么小，长期而言这种局面迟早会出现。所以，最佳策略一定要比孤注一掷谨慎。Kelly的策略，让每次投入的赌注在现有的全部资金中占有固定的比例。

例子：一匹马获胜概率51%，赔率1：1，则你的优势2%（2*0.51-1）），这时你应当投入2%。如获胜概率55%，则你应当投入10%(2*0.55-1)。:)

安净

313另外一些例子：
公式：成功率-失败率/赔率=投入比例
如，获胜概率28%，赔率3：1，则投入比例=0.28-0.72/3=0.04，即投入4%；
又如34%，2，则优势0.34-(1-0.34)/2=0.01，即投入1%。

应用Kelly策略要注意：1、可能存在不能投注情况，因为当投注比例额为非整数时没法投注，2、虽然凯利的策略可以保证投资回报率最高，但是有些客户更加关心如何降破产的风险。解决方法是每次投入比建议值略小一点，风险可以得到进一步控制。

安净

314如果有两匹马都有利可图，凯利研究表明，你应当同时在这两匹马身上下注:*P ，为了使资金增长速度最大化，你应当在那些对你不利的马身上下注:*31*: 。

精确的计算结果往往与直觉相悖。

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-2 12:41 编辑 ]

安净

315与直觉相悖的计算结果

安净

366  A随意选择一个真实的数，可以是一条河的长度，一个人的月收入，一个镇的总人数，等等。这个数不能是随机生成的数，如计算机生成的随机数或者电话号码本或质数表中随机选择的数。我们只关心这个数的第一位有效数字，是一个非0的数，共9个。
问：B猜对的概率是多少？如果A投入的赌注为10，B应当投入多少赌注才能保证这个游戏对双方公平？

如果A严格按照规定选择数据，则数据的第一位有效数字是1的概率超过30%，A每次投入10，所以B平均每次赢得3以上。

这个发现是弗兰克.本福德完成的，其完整形式为：任意选择一个真实的数，以十进制形式表示，则第一位数字为d的概率为：log10((d+1)/d)。如下表：

穿着裤子的云

谢谢楼主分享！

安净

389一枚特殊骰子有1-10共10个面，同时掷4枚，那么其中至少出现1个6点，要么1个6点也没有。哪种情况概率大？

解答：b 为一个6点也没有概率，则b=(1-0.1)^4=0.6561.a为至少出现1个6点的概率，则a=1-b=0.3439<b.所以至少有一个6点出现的概率大。

注：观察9的幂，第7次时为4782969，可见同时掷7个以上那么 结论要倒过来写了。:*22*: 注意通常的骰子当同时掷5个时结论也倒过来写了。:*22*:

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-2 16:43 编辑 ]

安净

赔率1：1的情况

P表示1局中获胜的概率，X为下注额，则P>50%时，贪婪的赌徒会选择非常大的X值，因为他这时赢多输少，但是1次失利就会元气大伤。

如果进行N局，获胜M局，失败为N-M局，则资金额变为：G=（1+X）^M * (1-x)^(N-M) * F，你的资金的增长倍数为G/F。长远看，你的资金按指数增长，即：
log(G/F)=Mlog(1+X)+(N-M)log(1-x)。

注意到长期而言P=M/N,1-P=(N-M)/N，于是每1局游戏的平均增长指数为：
plog(1+x)+(1-p)log(1-x)

所谡最佳策略，就是选择x，使上面数值最大。只要对x求导，令其为0，即p/(1+x)=(1-p)/(1-x),即p/(1-p)=(1+x)/(1-x),即p/(p+1-p)=(1+x)/(1+x+1-x),即p=(1+x)/2,即x=2p-1=p-(1-p)。x这里为你的优势。

所以此时，如果游戏对你有利，每次你下注的比例应该为你在游戏中优势的大小。

安净

423赔率为K：1（K可以大于1，也可以小于1）

此时公式变为：plog(1+kx)+(1-p)log(1-x),于是求解方程pk/(1+kx)=(1-p)/(1-x),易得x=p-(1-p)/k，此时，平均资金增长率近似等于kx^2(1-x(k-1))/2.

例子：K=2，P=40%，则下注比例为0.4-0.6/2=0.1
即每次投入10%，此时平均资金增长率为0.008。

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-5 16:32 编辑 ]

安净

424赌马策略

一场比赛中，某马获胜概率P，赔率R：1，如果P（R+1）>1，则在这匹马上下注对你用利。*d:1*

注：如果炒股某种方法成功率为35%，那么要使0.35(R+1)>1，就是R>1.86才有利。


进一步讨论，若有5匹马（A B C D E），相应胜率（0.4  0.3  0.2   0.08  0.02）赔率（13/8  9/4  9/2   5/1   20/1），如何挑有利的马？

分别算P(R+1)，为（1.05   0.975   1.1   0.48   0.42），于是从大到小排列，挑选顺序为（C A B D E）

假定策略是对前K匹马下注，要算两个值：
（1）前K匹马胜率之和，为P（K）；（2）对应的A（K）=西格马（1/（R+1））。

K=1为1匹马C上下注，P（1）=0.4，A(1)=2/11;
K=2为2匹马CA上下注，P（2）=0.2+0.4=0.6，A（2）=2/11+8/21=0.5627；
同理，P（3）=0.2+0.4+0.3=0.9,A(3)=0.87046;
又有，P（4）=0.98，A（4）=1.037，一旦发现某个A（K）>1就停止。

对于每个使A（K）<1算B（K）=（1-P（K））/（1-A（K））的值，若B（K）<p(R+1)，则在前K匹马上下注。找到最大K值就在前k匹马上下注。

相应的B阵为（0.977 0.91485 0.772）P(R+1)为（1.1  1.05  0.975）。不用算第4个了，前3个均满足上面的凯利策略。于是在前3匹马上下注。

最后一步是确定每匹马的下注额，将全部的1-B（K）比例下注，对于第K匹马下注额为：P(k)-B(k)/(R(k)+1)，算得：比例（CAB）=（0.2-0.7722/11   0.4-0.7728/21   0.3-0.7724/13）= (0.06    0.106  0.0625)


如果R=2，相应策略不变，那么此时B就排除在外了。

注：这里我们故意改变一些符号，是为了与交易惯例契合，已经脱离书本了，这里的知识是很有用的。:)

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-2 18:17 编辑 ]

安净

一本书看下来，充满了很多智慧，如果我们采用比较的方法，会发现可以找到不少方法在交易中使用:) 。

由于时间有限，我们略去了一些具体操作部分，也无大碍，能够在交易中使用的关键的知识点基本上点到。希望对你有益，呵呵:*22*: :*22*: :*22*:

安净

股市酒鬼回家问题

很容易把该书的这个问题转化成股市中相应问题,经过计算如果股价从现在位置不到前期低位,那么需要的时间通常少于两个积的一半,这是因为到后期股市酒鬼的步伐迈得比较大.:*22*:

这里我们取波动率的平均值为步子,前期低高点分别为水沟和家.:*22*:

这里实质上就是股市经常讨论的止损止盈问题，从方法本身来说具有一定深意，不过这里连时间都能算得出来，却是开辟了另一条路径.:*22*: :*22*:

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-3 15:41 编辑 ]

安净

彩票策略
根据上面的赛马策略，通常彩票胜率比较小，其期望值为负值，因此是不能玩的。如前所述，由于其奖金率比较大，容易勾起人们的购买欲，故从者众。

如我们仅玩百位彩票，那么出一个二位数字的概率为1/100，中一注90元，则期望值为：0.01*(90-1)+0.99*(-1)=0.89-0.99=-0.1。
看首位，如果有一个策略：（1）首位可减到6个数，成功率0.6；（2）又有一个策略出现奇偶遗传成功率达到0.51；（3）两位数出现熟码率达到0.66，可提高产出比达到6。那么对赌徒有没有优势？

P（R-1）=0.6*0.51*0.66*(6-1)=0.20196*5=1.0098>1，可见这个策略对下注者是有一定的优势的。

上面的策略能不能中500万呢？须要1<P（R-1）=0.6*0.51*p3*500万=153万*P3，即P3>1/153万。实际上P3约为1/5100000，就是这个策略是不能赢到500万的。

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-3 09:59 编辑 ]

安净

股市挑马

有五匹马（ABCDE）,成功率（0.38  0.4  0.51   0.67   0.85）盈亏比（2 1.5  1.2  0.5   0.15），如何挑马有利？

各算一下单数学期望：PR-（1-P）=R（P-（1-p）/R），只算右面括号中部分，于是有（0.07  0  0.10  0.01  -0.15)，可见只有AC马好一点。

黑猫007

*d:1* *d:1* *d:1*

安净

接38楼，
已知（ABCDE），胜率（0.38  0.4  0.51   0.67   0.85），R值：（2 1.5  1.2  0.5   0.15），依次算P（R+1）：（1.14   1.00  1.12  1.01  0.98）按从大到小排：（ACDBE）为：（1.14   1.12 1.01  1.00  0.98）。由于这五匹马是独立事件，所以后面不能按前面的方法来计算。但从利润最大化的角度亦应选AC,这时与上面的结论是一致的。:)

[ 本帖最后由 安净 于 2009-6-3 15:53 编辑 ]